Число 338 со­дер­жит три цифры. Сле­до­ва­тель­но, N² < 338, а N³ > 338. От­ку­да по­лу­ча­ем, что 7 ≤ N ≤ 18. По­сле­до­ва­тель­но про­ве­ряя ос­но­ва­ния си­стем счис­ле­ния от боль­ше­го к мень­ше­му, по­лу­ча­ем, что наи­боль­шее ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи, равно 16.

Ответ: 16.