Тип 14 № 55810 

Кодирование чисел. Системы счисления. Операции в одной СС
i
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15:
97968x1315 + 7x21315.
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.
Решение. Приведём решение данной задачи на языке Python.
result_search = []
for x in '0123456789ABCDE':
t = int('97968' + x + '13', 15) + int('7' + x + '213', 15)
if t % 14 == 0:
result_search.append(t)
if result_search:
print(min(result_search) // 14)
Ответ: 116 070 624.
Приведём решение Евгения Джобса (аналитическое).
Так как нам необходимо найти число, кратное 14, исследуем разряды числа на соответствие этому признаку. Воспользуемся признаками кратности произведения и суммы:

В первую очередь рассмотрим основание системы счисления и её степени:

Для остальных степеней будем иметь такой же остаток.
Теперь рассмотрим числа из условия:

Аналогично рассматривая остальные разряды, получим, что признак кратности 14 числа в пятеричной системе равносилен признаку кратности 14 суммы цифр этого числа. То есть проверка на кратность 14 для нашего выражения будет равносильна проверке:





откуда

Следовательно, искомое значение х = 0. Тогда:

Переведем число в десятичную систему счисления и разделим на 14. Находим:


Примечание. Конечно же, последние действия на экзамене нужно делать либо с помощью калькулятора, либо, например, с использованием функции int (x, 15) в языке программирования рython. Например, так:
(int('97968013', 15) + int('70213', 15)) // 14.
Ответ: 116070624