ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 55810 Добавить в вариант

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15:

97968x13₁₅ + 7x213₁₅.

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-⁠ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Спрятать решение

Решение.

Приведём решение данной задачи на языке Python.

result_search = []

for x in '0123456789ABCDE':

t = int('97968' + x + '13', 15) + int('7' + x + '213', 15)

if t % 14 == 0:

result_search.append(t)

if result_search:

print(min(result_search) // 14)

Ответ: 116 070 624.

Приведём решение Евгения Джобса (аналитическое).

Так как нам необходимо найти число, кратное 14, исследуем разряды числа на соответствие этому признаку. Воспользуемся признаками кратности произведения и суммы:

$левая круглая скобка a умножить на b правая круглая скобка \% d = левая круглая скобка a \% d правая круглая скобка левая круглая скобка b \% d правая круглая скобка \% d;$

$левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка \% d = левая круглая скобка a \% d плюс b \% d правая круглая скобка \% d.$

В первую очередь рассмотрим основание системы счисления и её степени:

$15 \% 14 = 1;$

$15 в квадрате \% 14 = левая круглая скобка 15 \% 14 правая круглая скобка левая круглая скобка 15 \% 14 правая круглая скобка \% 14 = 1 умножить на 1 \% 14 = 1.$

Для остальных степеней будем иметь такой же остаток.

Теперь рассмотрим числа из условия:

$левая круглая скобка 9 умножить на 15 в степени 7 плюс 7 умножить на 15 в степени 6 плюс 9 умножить на 15 в степени 5 плюс 6 умножить на 15 в степени 4 плюс 8 умножить на 15 в кубе плюс x умножить на 15 в квадрате плюс 1 умножить на 15 в степени 1 плюс 3 умножить на 15 в степени 0 правая круглая скобка \% 14;$

$9 умножить на 15 в степени 7 \% 1 4 = левая круглая скобка 9 \% 14 правая круглая скобка левая круглая скобка 15 в степени 7 \% 14 правая круглая скобка \% 14 = левая круглая скобка 9 умножить на 1 правая круглая скобка \% 14 = 9.$

Аналогично рассматривая остальные разряды, получим, что признак кратности 14 числа в пятеричной системе равносилен признаку кратности 14 суммы цифр этого числа. То есть проверка на кратность 14 для нашего выражения будет равносильна проверке:

$левая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 7 плюс 9 плюс 6 плюс 8 плюс x плюс 1 плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7 плюс x плюс 2 плюс 1 плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка \% 14 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка 43 плюс x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 13 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка \% 14 левая круглая скобка 56 плюс 2 x правая круглая скобка \% 14 равносильно левая круглая скобка 0 плюс 2 x правая круглая скобка \% 14 равносильно 2 x \% 14 ,$ $левая круглая скобка левая круглая скобка 9 плюс 7 плюс 9 плюс 6 плюс 8 плюс x плюс 1 плюс 3 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7 плюс x плюс 2 плюс 1 плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка \% 14 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка 43 плюс x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 13 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка \% 14 левая круглая скобка 56 плюс 2 x правая круглая скобка \% 14 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 0 плюс 2 x правая круглая скобка \% 14 равносильно 2 x \% 14 ,$

откуда

$совокупность выражений x_1=0, x_2=7, x_3=14 левая круглая скобка E правая круглая скобка . конец совокупности .$

Следовательно, искомое значение х  =  0. Тогда:

$\beginaligned плюс \quad 97968013 \qquad 70213 = \overline 979 D 8226 \endaligned$

Переведем число в десятичную систему счисления и разделим на 14. Находим:

$9 умножить на 15 в степени 7 плюс 7 умножить на 15 в степени 6 плюс 9 умножить на 15 в степени 5 плюс 13 умножить на 15 в степени 4 плюс 8 умножить на 15 в кубе плюс 2 умножить на 15 в квадрате плюс 2 умножить на 15 в степени 1 плюс 6 умножить на 15 в степени 0 =1 624 988 736 равносильно$
$равносильно 1 624 988 736 : 14=116 070 624.$

Примечание. Конечно же, последние действия на экзамене нужно делать либо с помощью калькулятора, либо, например, с использованием функции int (x, 15) в языке программирования рython. Например, так:

(int('97968013', 15) + int('70213', 15)) // 14.

Аналоги к заданию № 55810: 57421 Все

Источник: ЕГЭ по информатике 06.04.2023. Досрочная волна

Спрятать решение · Помощь