ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Тип 19 № 27802 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Решение.

Минимальное значение: S  =  3. Петя может получить позицию 15, в которой Ваня может выиграть ходом 75. При меньших значениях S ни при каком ходе Пети Ваня не сможет выиграть первым ходом.

Ответ: 3.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, h):

if h == 3 and x >= 68:

return 1

elif h == 3 and x < 68:

return 0

elif x >= 68 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(неудачный ход)

for x in range(1, 68):

if f(x, 1) == 1:

print(x)

break

Приведём решение Артёма Гридина на языке Python.

from functools import lru_cache

def moves(h):

return h+1, h+4, h*5

@lru_cache(None)

def game(h):

if h >= 68: return 'W'

if any(game(m) == 'W' for m in moves(h)): return 'P1'

if any(game(m) == 'P1' for m in moves(h)): return 'V1'

for s in range(1, 68):

if game(s) == 'V1':

print(s)

break

Приведём решение Виктории Зиберовой на языке Python.

def f(k, m):

if k >= 68:

return m % 2 == 0

if m == 0:

return 0

h = [f(k + 1, m - 1), f(k + 4, m - 1), f(k * 5, m - 1)]

return any(h) if m % 2 != 0 else any(h)

print('zadanie19', min([s for s in range(1, 68) if f(s, 2)]))

Приведём решение Маргариты Фалько на языке Python.

def g(s, p, end):

if s > 67:

return p in end

if p >= max(end):

return False

moves = [g(s+1, p+1, end), g(s+4, p+1, end), g(s*5, p+1, end)]

return any(moves) if ((p + 1) % 2) == (end[0] % 2) else any(moves)

print(min([s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [2])]))

Аналоги к заданию № 27802: 27805 27814 Все

Решение · Помощь

1

Тип 20 № 27803 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Решение.

Возможные значения S: 9, 12. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 13 камней (при S  =  9 нужно добавить 4 камня, при S  =  12 нужно добавить 1 камень). Тогда после первого хода Вани в куче будет 14 камней, или 17 камней, или 65 камней. Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в куче в 5 раз и выигрывает вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 912.

Ответ: 912.

Приведём решение на языке Python.

def f(x, h):

if h == 4 and x >= 68:

return 1

elif h == 4 and x < 68:

return 0

elif x >= 68 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего

for x in range(1, 68):

if f(x, 1) == 1:

print(x)

Приведём решение Виктории Зиберовой на языке Python.

def f(k, m):

if k >= 68:

return m % 2 == 0

if m == 0:

return 0

h = [f(k + 1, m - 1), f(k + 4, m - 1), f(k * 5, m - 1)]

return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print('zadanie20', *[s for s in range(1, 68) if not f(s, 1) and f(s, 3)])

Приведём решение Маргариты Фалько на языке Python.

def g(s, p, end):

if s > 67:

return p in end

if p >= max(end):

return False

moves = [g(s+1, p+1, end), g(s+4, p+1, end), g(s*5, p+1, end)]

return any(moves) if ((p + 1) % 2) == (end[0] % 2) else all(moves)

print('Задаие 20:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [1, 3]) and not g(s, 0, [1])])

print('Задаие 21:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [2, 4]) and not g(s, 0, [2])])

Аналоги к заданию № 27803: 27806 27815 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27804 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Минимальное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9, 12 или 40 камней. Если в куче станет 40 камней, Ваня увеличит количество камней в 5 раз и выиграет первым ходом. Когда в куче 9 или 12 камней, можно получить кучу из 13 камней (при S  =  9 нужно добавить 4 камня, при S  =  12 нужно добавить 1 камень). Тогда после второго хода Пети в куче будет 14 камней, или 17 камней, или 65 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в 5 раз и выигрывает вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 8.

Ответ: 8.

Приведём решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом:

def f(x, h):

if (h == 3 or h == 5) and x >= 68:

return 1

elif h == 5 and x < 68:

return 0

elif x >= 68 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего

def f1(x, h):

if h == 3 and x >= 68:

return 1

elif h == 3 and x < 68:

return 0

elif x >= 68 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 68):

if f(x, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 68):

if f1(x, 1) == 1:

print(x) # Исключим эти значения из списка выше

Приведём решение Виктории Зиберовой на языке Python.

def f(k, m):

if k >= 68:

return m % 2 == 0

if m == 0:

return 0

h = [f(k + 1, m - 1), f(k + 4, m - 1), f(k * 5, m - 1)]

return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)

print('zadanie21', min([s for s in range(1, 68) if not f(s, 2) and f(s, 4)]))

Приведём решение Маргариты Фалько на языке Python.

def g(s, p, end):

if s > 67:

return p in end

if p >= max(end):

return False

moves = [g(s+1, p+1, end), g(s+4, p+1, end), g(s*5, p+1, end)]

return any(moves) if ((p + 1) % 2) == (end[0] % 2) else all(moves)

print('Задаие 20:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [1, 3]) and not g(s, 0, [1])])

print('Задаие 21:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [2, 4]) and not g(s, 0, [2])])

Аналоги к заданию № 27804: 27807 27816 Все

Решение · Помощь

Тип 19 № 27805 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 63.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 63 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 62.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27802: 27805 27814 Все

Решение · Помощь

1

Тип 20 № 27806 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 63.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то емть первым получивший кучу, в которой будет 63 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 62.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Аналоги к заданию № 27803: 27806 27815 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27807 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 63.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 63 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 62.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Минимальное значение S: 7. После первого хода Пети в куче будет 8, 11 или 35 камней. Если в куче станет 35 камней, Ваня увеличит количество камней в куче в 5 раз и выиграет первым ходом. При S  =  8 и S  =  11 он может получить кучу из 12 камней (при S  =  8 нужно добавить 4 камня, при S  =  11 нужно добавить 1 камень). Тогда после второго хода Пети в куче будет 13 камней, или 16 камней, или 60 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в 5 раз и выигрывает вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 7.

Ответ: 7.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантирована выиграет первым ходом:

def f(x, h):

if (h == 3 or h == 5) and x >= 63:

return 1

elif h == 5 and x < 63:

return 0

elif x >= 63 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего

def f1(x, h):

if h == 3 and x >= 63:

return 1

elif h == 3 and x < 63:

return 0

elif x >= 63 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 5, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 63):

if f(x, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 63):

if f1(x, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 27804: 27807 27816 Все

Решение · Помощь

Тип 19 № 27814 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 70.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 70 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; $1 меньше или равно S меньше или равно 69.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27802: 27805 27814 Все

Решение · Помощь

1

Тип 20 № 27815 Добавить в вариант

i

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 70.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 70 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; $1 меньше или равно S меньше или равно 69.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Аналоги к заданию № 27803: 27806 27815 Все

Решение · Помощь

2

Тип 21 № 27816 Добавить в вариант