Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой
В начальный момент в куче было 
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Минимальное значение S: 8. После первого хода Пети в куче может быть: 9, 12, 40. Если в куче станет
Таким образом, ответ — 8.
Ответ: 8.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 70:
return 1
elif h == 5 and x < 70:
return 0
elif x >= 70 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1)
# стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1)
# стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 70:
return 1
elif h == 3 and x < 70:
return 0
elif x >= 70 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 5, h + 1)
# стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 5, h + 1)
# стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 70):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 70):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Приведём другое решение на языке Python.
from functools import lru_cache
def moves(h):
return h + 1, h + 4, h * 5
@lru_cache(None)
def f(h):
if h >= 70:
return 'END'
if any(f(x) == 'END' for x in moves(h)):
return 'WIN1'
if all(f(x) == 'WIN1' for x in moves(h)):
return 'LOSE1'
if any(f(x) == 'LOSE1' for x in moves(h)):
return 'WIN2'
if all(f(x) == 'WIN2' or f(x) == 'WIN1' for x in moves(h)):
return 'LOSE2'
for s in range(1, 70):
if f(s) == 'LOSE2':
print(s, f(s))
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой
В начальный момент в куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой
В начальный момент в куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.