Ис­ко­мое ко­ли­че­ство про­грамм равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 1 число 15, при этом тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний долж­на со­дер­жать числа 10 и 12.

Пусть R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые число 2 пре­об­ра­зу­ют в число n.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

R(n)  =  R(n – 1) + R(n : 3) (если n крат­но 3) + R(n – 2).

R(1)  =  1;

R(2)  =  R(1)  =  1;

R(3)  =  R(2) + R(1) + R(1)  =  3;

R(4)  =  R(3) + R(2)  =  4;

R(5)  =  R(4) + R(3)  =  7;

R(6)  =  R(5) + R(2) + R(4)  =  12;

R(7)  =  R(6) + R(5)  =  19;

R(8)  =  R(7) + R(6)  =  31;

R(9)  =  R(8) + R(3) + R(7)  =  53;

R(10)  =  R(9) + R(8)  =  84;

R(11)  =  R(10)  =  84;

R(12)  =  R(11) + R(10)  =  168;

R(13)  =  R(12)  =  168;

R(14)  =  R(13) + R(12)  =  336;

R(15)  =  R(14) + R(13)  =  504.

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство про­грамм, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, равно 504.

Ответ: 504.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 15 так, чтобы тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний со­дер­жа­ла числа 10 и 12, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 10, ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 10 в число 12, и ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 12 в число 15.

Как по­ка­за­но в ос­нов­ном ре­ше­нии, ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 10, равно 84.

Из числа 10 можно по­лу­чить число 12 с по­мо­щью двух про­грамм: 11 и 2.

Из числа 12 можно по­лу­чить число 15 с по­мо­щью трех про­грамм: 111, 12 и 21.

Таким об­ра­зом, общее ко­ли­че­ство про­грамм равно 84 · 2 · 3  =  504.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.

Ис­ко­мое ко­ли­че­ство про­грамм равно ко­ли­че­ству про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 2 число 12, при этом тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний долж­на со­дер­жать числа 9 и 11.

Пусть R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые число 2 пре­об­ра­зу­ют в число n.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

R(n)  =  R(n – 1) + R(n : 3) (если n крат­но 3) + R(n – 2).

R(2)  =  1.

R(3)  =  R(2)  =  1.

R(4)  =  R(2) + R(3)  =  2.

R(5)  =  R(4) + R(3)  =  3.

R(6)  =  R(5) + R(2) + R(4)  =  6.

R(7)  =  R(6) + R(5)  =  9.

R(8)  =  R(7) + R(6)  =  15.

R(9)  =  R(8) + R(3) + R(7)  =  25.

R(10)  =  R(9)  =  25.

R(11)  =  R(10) + R(9)  =  50.

R(12)  =  R(11)  =  50.

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство про­грамм, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, равно 50.

Ответ: 50.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ис­ко­мое ко­ли­че­ство про­грамм равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 2 число 9, ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 9 число 11, и ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 11 число 12.

Ко­ли­че­ство про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 2 число 9, равно 25, как по­ка­за­но в ос­нов­ном ре­ше­нии.

По­лу­чить число 11 из числа 9 можно двумя про­грам­ма­ми: 11 или 2.

По­лу­чить число 12 из числа 11 можно един­ствен­ной про­грам­мой 1.

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство про­грамм, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, равно 25 · 2 · 1  =  50.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.

Ис­ко­мое ко­ли­че­ство про­грамм равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 4 число 23, при этом тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний долж­на со­дер­жать числа 10 и 17.

Пусть R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые число 2 пре­об­ра­зу­ют в число n.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

R(n)  =  R(n – 1) + R(n – 3) + R(n : 3) (если n крат­но 3).

R(4)  =  1;

R(5)  =  1;

R(6)  =  1;

R(7)  =  R(6) + R(4)  =  2;

R(8)  =  R(7) + R(5)  =  3;

R(9)  =  R(8) + R(6)  =  4;

R(10)  =  R(9) + R(7)  =  6;

R(11)  =  R(10)  =  6;

R(12)  =  R(11)  =  6;

R(13)  =  R(12) + R(10)  =  12;

R(14)  =  R(13) + R(11)  =  18;

R(15)  =  R(14) + R(12)  =  24;

R(16)  =  R(15) + R(13)  =  36;

R(17)  =  R(16) + R(14)  =  54;

R(18)  =  R(17)  =  54;

R(19)  =  R(18)  =  54;

R(20)  =  R(19) + R(17)  =  108;

R(21)  =  R(20) + R(18)  =  162;

R(22)  =  R(21) + R(19)  =  216;

R(23)  =  R(22) + R(20)  =  324.

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство про­грамм, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, равно 324.

Ответ: 324.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 4 в число 23 таким об­ра­зом, чтобы тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний со­дер­жа­ла числа 10 и 17, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 4 в число 10, ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 10 в число 17 и ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 17 в число 23.

Най­дем ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 4 в число 10:

R(4)  =  1;

R(5)  =  1;

R(6)  =  1;

R(7)  =  R(6) + R(4)  =  2;

R(8)  =  R(7) + R(5)  =  3;

R(9)  =  R(8) + R(6)  =  4;

R(10)  =  R(9) + R(7)  =  6.

Най­дем ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 10 в число 17:

R(10)  =  1.

R(11)  =  R(10)  =  1.

R(12)  =  R(11)  =  1.

R(13)  =  R(12) + R(10)  =  2.

R(14)  =  R(13) + R(11)  =  3.

R(15)  =  R(14) + R(12)  =  4.

R(16)  =  R(15) + R(13)  =  6.

R(17)  =  R(16) + R(14)  =  9.

Най­дем ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 17 в число 23:

R(17)  =  1;

R(18)  =  R(17)  =  1;

R(19)  =  R(18)  =  1;

R(20)  =  R(19) + R(17)  =  2;

R(21)  =  R(20) + R(18)  =  3;

R(22)  =  R(21) + R(19)  =  4;

R(23)  =  R(22) + R(10)  =  6.

Тогда ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 4 в число 23 таким об­ра­зом, чтобы тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний со­дер­жа­ла числа 10 и 17, равно 6 · 9 · 6  =  324.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.