Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Приведём решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 4 and x <= 30:
return 1
elif h == 4 and x > 30:
return 0
elif x <= 30 and h < 4:
return 0
else:
if h % 2 != 0:
return f(x - 3, h + 1) or f(x - 5, h + 1) or f(x // 4, h + 1)
else:
return f(x - 3, h + 1) and f(x - 5, h + 1) and f(x // 4, h + 1)
count = 0
for x in range(1000):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
count += 1
if count == 2:
break
Ответ: 127128.
Приведём аналитическое решение Александра Козлова.
Решение задач с камешками методом «Лунная походка»
Задача 20
Анализ стратегии Пети:
Для того чтобы Петя мог выиграть своим вторым ходом, ему нужно заставить Ваню ходить из проигрышных позиций 124, 125, 126, согласно выводу 1 из 19 задачи это возможно, если Петя уберет 3 камня из позиций 127, 128 или 129.
Проверка позиции 130:
130/4=32 — проигрышный ход для Пети, поэтому он его не сделает.
130−3=127 — Ваня проигрывает, и Петя выигрывает своим вторым ходом.
130−5=125 — Ваня проигрывает, и Петя выигрывает своим вторым ходом.
Проверка позиции 131:
Если Петя убирает 3 камня, он попадает в 128, где Ваня может сделать ход, который приведет к его победе. Поэтому этот ход тоже не подходит.
Вывод 3: Ходы из позиций 127, 128, 129 и 130 приводят к победе игрока делающего свой ход первым.
Ответ на задачу 20: Наименьшие значения S=127 и S=128.
Приведём решение Александра Козлова на языке Python.
from functools import *
def m(h):
return h//4,h-3,h-5
@lru_cache(None)
def g(h):
if h<=30:return 'w'
if any(g(i)=='w' for i in m(h)):return 'p1'
if all(g(i)=='p1' for i in m(h)):return 'v1'
if any(g(i)=='v1' for i in m(h)):return 'p2'
if all(g(i)=='p1' or g(i)=='p2' for i in m(h)):return 'v2'
for i in range(120,140):
if g(i)!= None and g(i)!='w':
print(i,g(i))
Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.