Вве­дем обо­зна­че­ния:

Тогда, при­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:

Дан­ное вы­ра­же­ние будет ис­тин­но на от­рез­ках ¬P [-∞; 25] и [60; +∞] и ¬Q [-∞; 40] и [115; +∞].

В таком слу­чае, для того, чтобы вы­ра­же­ние было ис­тин­но при любом x, A долж­но ле­жать в про­ме­жут­ке (40; 64). Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая воз­мож­ная длина про­ме­жут­ка равна 64 − 40  =  24.

Ответ: 24

При­ведём ре­ше­ние Алек­сандра Коз­ло­ва.

Усло­вие: (x∈P)→(((x∈Q)∧¬(x∈A))→¬(x∈P)) можно ин­тер­пре­ти­ро­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

1.  Если x при­над­ле­жит от­рез­ку P, то...

2.  Если x при­над­ле­жит от­рез­ку Q и от­рез­ку A, то x не может при­над­ле­жать от­рез­ку P.

Это озна­ча­ет, что если x на­хо­дит­ся в P и од­но­вре­мен­но в Q и A, то это при­во­дит к про­ти­во­ре­чию, по­сколь­ку x не может од­но­вре­мен­но при­над­ле­жать P и не при­над­ле­жать ему.

Чтобы из­бе­жать этого про­ти­во­ре­чия, от­ре­зок A дол­жен «за­кры­вать» пе­ре­се­че­ние от­рез­ков P и Q. То есть, A дол­жен на­хо­дить­ся вне пе­ре­се­че­ния P и Q.

Пе­ре­се­че­ние P и Q будет: P∩Q=[40,64] Таким об­ра­зом, от­ре­зок A дол­жен на­хо­дить­ся вне этого пе­ре­се­че­ния, чтобы усло­вие вы­пол­ня­лось.