ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 63035 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. В игре разрешено делать следующие ходы:

—  добавить в кучу один камень;

—  если количество камней в куче чётно, добавить половину имеющегося количества;

—  если количество камней в куче кратно трём, добавить треть имеющегося количества;

—  если количество камней в куче не кратно ни двум, ни трём, удвоить кучу.

Например, если в куче 5 камней, то за один ход можно получить 6 или 10 камней, а если в куче 6 камней, то за один ход можно получить 7, или 8, или 9 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче достигает 96.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 96 или больше камней.

В начале игры в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 95.

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть первым ходом, но при любом первом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Спрятать решение

Решение.

Такое значение S  — 48. Своим первым ходом Петя может получить позиции 49, 72 (так как число делится на 2) и 64 (так как число делится на 3). В случае позиции 49 Ваня удваивает количество камней в куче и выигрывает своим первым ходом (так как 49 не делится на 2 или 3). В случае позиции 72 или 64 Ваня добавляет половину камней в куче и выигрывает своим первым ходом (так как 72 и 52 делятся на 2).

Приведём решение на языке Python.

def f(x, h):

if x >= 96:

return h % 2 == 0

if h == 0:

return 0

c = [f(x + 1, h - 1)]

if x % 2 == 0:

c += [f(x *3 // 2, h - 1)]

if x % 3 == 0:

c += [f(x *4 // 3, h - 1)]

if x % 2 != 0 and x % 3 != 0:

c += [f(x * 2, h - 1)]

return any (c) if h % 2 != 0 else all(c)

for x in range(1, 96):

if f(x, 2) == 1:

print("Задача 19: ", x)

break

Решим задание с помощью электронных таблиц.

В ячейку B1 введем максимальное значение камней в куче 95. В ячейке С3 будем подбирать количество камней в куче. В столбце D будем указывать ходы Пети, в столбце Е  — ходы Вани. Если ход невозможен пропишем отрицательное число камей, например −1000.

Для Пети пропишем следующие ходы:

В ячейку D3  — ход =C3+1;

В ячейку D7  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(C3;2)=0;C3+C3*0,5;-1000);

В ячейку D11  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(C3;3)=0;C3+C3*1/3;-1000);

В ячейку D15  — ход =ЕСЛИ(И(ОСТАТ(C3;2)<>0;ОСТАТ(C3;3)<>0);C3*2;-1000).

Для Вани пропишем ходы аналогично, соответственно ходам Пети.

Для столбца D зададим условное форматирование, если значение в ячейке больше ячейки B1, то красим ее в красный цвет. Для столбца Е зададим условное форматирование, если значение в ячейке больше ячейки B1, то красим ее в зеленый цвет.

Меняя значение в ячейке C3 добиваемся такого результата, когда у Вани будут зеленые ячейки в строках, соответствующих ходам Вани.

Получим следующую таблицу и подходящее значение 48.

Файл с решением: Решение.xlsx

Ответ: 48.

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

def game(n,lim,s): # номер хода, лимит ходов, количество камней

player=2-n%2 # текущий игрок

rival=3-player # противник

if s >= 96: return rival # игра закончена

if n > lim: return 0 # превышен лимит ходов - победителя нет

pos=[s+1] # количество камней после хода игрока

if s%2 == 0: pos.append(s+s//2)

if s%3 == 0: pos.append(s+s//3)

if s%2 != 0 and s%3 != 0: pos.append(s*2)

res=[game(n+1,lim,p) for p in pos] # результаты ходов

if all([r == rival for r in res]): return rival # все ходы проигрышные

if any([r == player for r in res]): return player # есть выигрышный ход

return 0 # победителя нет

print('#19:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 2])

print('#20:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 0 and game(1,3,s) == 1])

print('#21:',*[s for s in range(1,96) if game(1,3,s) == 0 and game(1,4,s) == 2])

Аналоги к заданию № 63035: 63068 Все

Спрятать решение · Помощь

Тип 20 № 63036 Добавить в вариант

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наибольших значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.

В ответе запишите найденные значения в порядке возрастания.

Ответ:

Решение.

Первое такое значение S  — 57. Своим первым ходом Петя может получить позиции 58 или 76 (так как число делится на 3). В случае позиции 76 Ваня выигрывает своим первым ходом (так как 76 делится на 2). Петя делает позицию 58, Ваня может получить позиции 59 или 87. В случае позиции 59 Петя удваивает количество камней, в позиции 87 добавляет треть камней в куче и выигрывает своим первым ходом.

Второе такое значение S  — 62. Своим первым ходом Петя может получить позиции 63 или 93 (так как число делится на 2). В случае позиции 93 Ваня выигрывает своим первым ходом (так как 93 делится на 3). Петя делает позицию 63, Ваня может получить позиции 64 или 84. В случае позиции 64 Петя добавляет половину количества камней в куче, в позиции 84 добавляет половину камней в куче и выигрывает своим первым ходом.

Приведём решение на языке Python.

def f(x, h):

if x >= 96:

return h % 2 == 0

if h == 0:

return 0

c = [f(x + 1, h - 1)]

if x % 2 == 0:

c += [f(x *3 // 2, h - 1)]

if x % 3 == 0:

c += [f(x *4 // 3, h - 1)]

if x % 2 != 0 and x % 3 != 0:

c += [f(x * 2, h - 1)]

return any (c) if h % 2 != 0 else all(c)

count = 0

for x in range(96, 1, -1):

if f(x, 3) == 1 and f(x,1) == 0:

count += 1

print("Задача 20: ", x)

if count == 2:

break

Приведём решение Сергея Гусарова на языке Python.

def f(s,p,k):

if p > k:

return False

if s >= 96 and p%2 == 0:

return False

if s >= 96 and p%2 == 1:

return True

if s < 96 and p%2 == 1:

if s%6 == 0:

return f(s + s//2, p+1,k) and f(s + s//3,p+1,k) and f(s+1,p+1,k)

elif s%2 == 0:

return f(s + s//2, p+1,k) and f(s+1,p+1,k)

elif s%3 == 0:

return f(s + s//3,p+1,k) and f(s+1,p+1,k)

else:

return f(s*2, p+1,k) and f(s+1,p+1,k)

if s < 96 and p%2 == 0:

if s%6 == 0:

return f(s + s//2, p+1,k) or f(s + s//3,p+1,k) or f(s+1,p+1,k)

elif s%2 == 0:

return f(s + s//2, p+1,k) or f(s+1,p+1,k)

elif s%3 == 0:

return f(s + s//3,p+1,k) or f(s+1,p+1,k)

else:

return f(s*2, p+1,k) or f(s+1,p+1,k)

d = []

d2 = []

for s in range(1,95):

if f(s,0,1):

d.append(s)

for s in range(1,95):

if f(s,0,3) and s not in d:

d2.append(s)

print(*d2[-2:])

Решим задание с помощью электронных таблиц.

Скопируем решение задачи 19 четыре раза начиная с ячейки H3. Там, где было начальное количество камней в куче, будет ход Пети, а где был ход Пети, будет ход Вани. Меняем значения в ячейках:

В ячейку H3  — ход =G3+1.

В ячейку H19  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(G3;2)=0;G3+G3*0,5;-1000).

В ячейку H35  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(G3;3)=0;G3+G3*1/3;-1000).

В ячейку H15  — ход =ЕСЛИ(И(ОСТАТ(G3;2)<>0;ОСТАТ(G3;3)<>0);G3*2;-1000).

Меняя значение в ячейке G3, добиваемся такого результата, когда у Пети будут зеленые ячейки в строках, соответствующих ходам Вани.

Получим следующую таблицу и подходящие значения 57&62.

Решение.xlsx

Ответ: 57&62.

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

def game(n,lim,s): # номер хода, лимит ходов, количество камней

player=2-n%2 # текущий игрок

rival=3-player # противник

if s >= 96: return rival # игра закончена

if n > lim: return 0 # превышен лимит ходов - победителя нет

pos=[s+1] # количество камней после хода игрока

if s%2 == 0: pos.append(s+s//2)

if s%3 == 0: pos.append(s+s//3)

if s%2 != 0 and s%3 != 0: pos.append(s*2)

res=[game(n+1,lim,p) for p in pos] # результаты ходов

if all([r == rival for r in res]): return rival # все ходы проигрышные

if any([r == player for r in res]): return player # есть выигрышный ход

return 0 # победителя нет

print('#19:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 2])

print('#20:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 0 and game(1,3,s) == 1])

print('#21:',*[s for s in range(1,96) if game(1,3,s) == 0 and game(1,4,s) == 2])

Аналоги к заданию № 63036: 63069 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 63037 Добавить в вариант

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Такое значение S  — 56. Своим первым ходом Петя может получить позиции 57 или 84 (так как число делится на 2). В случае позиции 84 Ваня выигрывает своим первым ходом (так как 84 делится на 2). Если Петя делает позицию 57, Ваня может получить позиции 58 или 76. В случае позиции 76 выиграет Петя, поэтому Ваня делает позицию 58. В случае позиции 58, Петя может получить позиции 59 или 87. В позиции 59 Ваня удваивает количество камней, а в позиции 87 добавляет треть камней в куче и выигрывает своим первым ходом.

Приведём решение на языке Python.

def f(x, h):

if x >= 96:

return h % 2 == 0

if h == 0:

return 0

c = [f(x + 1, h - 1)]

if x % 2 == 0:

c += [f(x *3 // 2, h - 1)]

if x % 3 == 0:

c += [f(x *4 // 3, h - 1)]

if x % 2 != 0 and x % 3 != 0:

c += [f(x * 2, h - 1)]

return any (c) if h % 2 != 0 else all(c)

for x in range(96,1,-1):

if f(x, 4) == 1 and f(x, 2) == 0:

print("Задача 21: ", x)

break

Решим задание с помощью электронных таблиц.

Скопируем решение задачи 19 шестнадцать раз начиная с ячейки M3. Там где было начальное количество камней в куче будет ход Пети, а где был ход Пети, будет ход Вани. Меняем значения в ячейках:

В ячейку M3  — ход =L3+1.

В ячейку M67  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(L3;2)=0;L3+L3*0,5;-1000).

В ячейку M131  — ход =ЕСЛИ(ОСТАТ(L3;3)=0;L3+L3*1/3;-1000).

В ячейку M195  — ход =ЕСЛИ(И(ОСТАТ(L3;2)<>0;ОСТАТ(L3;3)<>0);L3*2;-1000).

Получим следующую таблицу и подходящее значение 56: решение.xlsx.

Ответ: 56.

Приведём решение Юрия Красильникова на языке Python.

def game(n,lim,s): # номер хода, лимит ходов, количество камней

player=2-n%2 # текущий игрок

rival=3-player # противник

if s >= 96: return rival # игра закончена

if n > lim: return 0 # превышен лимит ходов - победителя нет

pos=[s+1] # количество камней после хода игрока

if s%2 == 0: pos.append(s+s//2)

if s%3 == 0: pos.append(s+s//3)

if s%2 != 0 and s%3 != 0: pos.append(s*2)

res=[game(n+1,lim,p) for p in pos] # результаты ходов

if all([r == rival for r in res]): return rival # все ходы проигрышные

if any([r == player for r in res]): return player # есть выигрышный ход

return 0 # победителя нет

print('#19:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 2])

print('#20:',*[s for s in range(1,96) if game(1,2,s) == 0 and game(1,3,s) == 1])

print('#21:',*[s for s in range(1,96) if game(1,3,s) == 0 and game(1,4,s) == 2])

Аналоги к заданию № 63037: 63070 Все

Решение · Помощь