У исполнителя Удвоитель-Утроитель три команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1
2. умножь на 2
3. умножь на 3.
Первая из них увеличивает на 1 число на экране, вторая увеличивает это число в 2 раза, третья - в 3 раза.
Программа для Удвоителя-Утроителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 14?
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n.
Верны следующие соотношения:
1. Если n не делится на 2 или на 3, то тогда R(n) = R(n−1), так как существует единственный способ получения n из n−1 — прибавлением единиц.
2. Пусть n делится на 2 и на 3.
Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n / 3) + R(n − 1).
Достаточно вычислить все значения R(n).
Имеем:
R(2) = 2 (можно умножить единицу на 2 или прибавить 1),
R(3) = 3 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 1 к двойке, которую, в свою очередь, можно получить двумя способами(см. выше)),
R(4) = R(2) + R(3) = 5,
R(5) = R(4) = 5,
R(6) = R(2) + R(3) + R(5) = 10,
R(7) = R(6) = 10,
R(8) = R(4) + R(7) = 5 + 10 = 15,
R(9) = R(3) + R(8) = 3 + 15 = 18,
R(10) = R(5) + R(9) = 5 + 18 = 23,
R(11) = R(10) = 23,
R(12) = R(11) + R(4) + R(6) = 23 + 5 + 10 = 38,
R(13) = R(12) = 38,
R(14) = R(13) + R(7) = 38 + 10 = 48.
Ответ: 48.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x == y:
return 1
if x > y:
return 0
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y) + f(x * 3, y)
print(f(1, 14))