Исполнитель Май16 преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Умножить на 2
3. Умножить на 3
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2, третья – умножает на 3.
Программа для исполнителя Май16 — это последовательность команд. Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 28 и при этом траектория вычислений содержит число 12 и не содержит числа 22?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 2 преобразуют в число n.
Верны следующие соотношения:
1. Если n не делится на 2 и на 3, то тогда R(n) = R(n - 1), так как существует единственный способ получения n из n - 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2 и не делится на 3.
Тогда R(n) = R(n - 1) + R(n / 2).
3. Пусть n делится на 3 и не делится на 2.
Тогда R(n) = R(n / 3) + R(n - 1).
4. Пусть n делится и на 2 и на 3.
Тогда R(n) = R(n - 1) + R(n / 2) + R(n / 3) .
С её помощью последовательно вычислим значения R(n):
R(2) = 1
R(3) = R(2) + R(1) = 1 + 0 = 1
R(4) = R(3) + R(2) = 1 + 1 = 2
R(5) = R(4) = 2
R(6) = R(5) + R(2) + R(3) = 2 + 1 + 1 = 4
R(7) = R(6) = 4
R(8) = R(7) + R(4) = 4 + 2 = 6
R(9) = R(8) + R(3) = 6 + 1 = 7
R(10) = R(9) + R(5) = 7 + 2 = 9
R(11) = R(10) = 9
R(12) = R(11) + R(6) + R(4) = 9 + 4 + 2 = 15
Так как в траектории должно присутствовать число 12, то для всех следующих R(n) нельзя использовать при пересчёте R(m) такие, что m < 12.
R(13) = R(12) = 15
R(22) = R(21) = R(20) = R(19) = R(18) = R(17) = R(16) = R(15) = R(14) = 15
Число 22 наоборот, не должно встречаться в траектории, поэтому не будем учитывать R(22), то есть все следующие R(n) будем подсчитывать без R(22).
R(23) = 0
R(24) = R(23) + R(12) = 15
R(25) = R(24) = 15
R(26) = R(25) + R(13) = 15 + 15 = 30
R(27) = R(26) = 30
R(28) = R(27) + R(14) = 30 + 15 = 45
Ответ: 45.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x == y:
return 1
if x > y or x == 22:
return 0
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y) + f(x * 3, y)
print(f(2, 12) * f(12, 28))