Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 34544
i

На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка: P  =  [10, 39] и Q  =  [23, 58]. Ка­ко­ва наи­мень­шая воз­мож­ная длина ин­тер­ва­ла A, что фор­му­ла

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → ((x ∈ Q) ∧ (x ∈ A ))

тож­де­ствен­но ис­тин­на, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем обо­зна­че­ния:

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.

При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:

(P ∧ Q) → (Q ∧ A) ⇔ ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A).

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Усло­вие ¬(P ∧ Q)  =  1 ис­тин­но на мно­же­стве (−∞, 23) ∪ (39, ∞). По­сколь­ку вы­ра­же­ние ¬(P ∧ Q) ∨ (Q∧A) долж­но быть тож­де­ствен­но ис­тин­ным, вы­ра­же­ние Q∧A долж­но быть ис­тин­ным на мно­же­стве [23; 39]. Зна­чит, наи­мень­шая воз­мож­ная длина ин­тер­ва­ла A равна 39 − 23  =  16.

 

Ответ: 16.

 

При­ме­ча­ние.

О длине от­рез­ка на­пи­са­но в при­ме­ча­нии к за­да­че 11119.

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.1 Вы­ска­зы­ва­ния, ло­ги­че­ские опе­ра­ции, кван­то­ры, ис­тин­ность вы­ска­зы­ва­ния
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026