ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 34535 Добавить в вариант

На числовой прямой даны три отрезка: P  =  [10, 40], Q  =  [5, 15] и R  =  [35, 50]. Какова наименьшая возможная длина промежутка A, что формула

( (x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Спрятать решение

Решение.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения:

(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R.

Применив преобразование импликации, получаем:

(A ∨ P) ∨ (Q → R) = A ∨ P ∨ ¬Q ∨ R.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условию P ∨ R = 1 удовлетворяет отрезок [10; 50], условие P ∨ ¬Q ∨ R = 1 истинно на множестве (−∞; 5) ∪ [10; ∞). Поскольку выражение A ∨ P ∨ ¬Q ∨ R должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинно на полуинтервале [5; 10). Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 10 − 5  =  5.

Ответ: 5.

Примечание 1.

О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.

Примечание 2.

Предостерегаем читателей от решения этой и подобных задач с помощью программ, реализующих метод перебора. В программах, которые предлагают наши читатели, в качестве границ отрезка используются целые числа, и длина отрезка определяется как разность между ними. Такие программы будут давать неверный результат, если интервал А не является отрезком, то есть одна или обе из его границ ему не принадлежат.

Приведём решение Льва Андреева на языке Python.

def f(x, a1, a2):

p = 10 <= x <= 40

q = 5 <= x <= 15

r = 35 <= x <= 50

a = a1 <= x <= a2

return ((a) or (p)) or ((q) <= (r))

nums = [i for x in [5,15,10,40,35,50] for i in [x-0.1, x, x+0.1]]

ans = []

for a1 in nums:

for a2 in nums:

if a1 <= a2 and all([f(x, a1, a2) for x in nums]):

ans += [a2 - a1]

print(round(min(ans)))

Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:

begin

var P := 10..40;var Q := 5..15;var R := 35..50;

var setX:=|P.First,P.Last,Q.First,Q.Last,R.First,R.Last,-999,999|

.SelectMany(x->|x-0.1,x,x+0.1|);

setX.Order.Combinations(2).Select(m->m[0]..m[1])

.Where(A->setX.All(x->

((x in A)or(x in P))or((x in Q)<=(x in R))

)).Min(A->A.Size).Round.Print;

end.

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.1 Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания

Спрятать решение · Помощь