Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Прибавить 2
3. Умножить на 3
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья — умножает на 3.
Программа для исполнителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 2 в число 16, и при этом траектория вычислений содержит число 11 и не содержит числа 15?
Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 213 при исходном числе 4 траектория будет состоять из чисел 6, 7, 21.
Искомое количество программ равно количеству программ, получающих из числа 2 число 16. Траектория вычислений не должна содержать число 15 и должна содержать число 11.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n.
Верны следующие соотношения:
1. R(n) = R(n−1) + R(n−2) + R(n/3) — если n делится на три, при n > 2.
2. R(n) = R(n−1) + R(n−2) — если n не делится на три, при n > 2.
R(2) = 1.
R(3) = R(2) = 1
R(4) = R(2) + R(3) = 2
R(5) = R(4) + R(3) = 3
R(6) = R(5) + R(4) + R(2) = 6
R(7) = R(6) + R(5) = 9
R(8) = R(7) + R(6) = 15
R(9) = R(8) + R(7) + R(3) = 25
R(10) = R(9) + R(8) = 40
R(11) = R(10) + R(9) = 65
R(12) = R(11) = 65 (R(4) и R(10) не учитываем, поскольку траектория должна содержать число 11)
R(13) = R(12) + R(11) = 130
R(14) = R(13) + R(12) = 195
R(16) = R(14) = 195 (R(15) не учитываем, поскольку траектория должна не должна содержать число 15)
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 195.
Ответ: 195.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 15:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x + 2, y) + f(x * 3, y)
print(f(2, 11) * f(11, 16))