Петя составляет 3-буквенные слова из букв Р, У, Ч, К, А причем
Пусть 
варианта.
Таким образом,
Итого получается 
слов.
Ответ: 48.
Приведём другое решение на языке Python.
import itertools
alphabet = "РУЧКА"
ar = itertools.product(alphabet, repeat=3) #Размещение с повторением
arl = []
for i in ar:
arl.append(list(i))
count = 0
for e in arl:
if e.count("К") == 1:
count += 1
print(count)
Приведём решение Сергея Донец на языке PascalABC.NET.
begin
'Р, У, Ч, К, А'.Remove(', ').Cartesian(3)
.Where(s->(s.CountOf('К')=1)//ровно 1 раз
).Count.Print;
end.