Тип 23 № 25852 
Оператор присваивания и ветвления. Перебор вариантов, построение дерева. Количество программ с обязательным и избегаемым этапами
i
Исполнитель Вычислитель преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера.
1. Прибавить 1.
2. Умножить на 2.
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2.
Программа для Вычислителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 22 и при этом траектория вычислений содержит число 10 и не содержит числа 15?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Решение. Нужно найти количество программ, которые из 1 получают 10, количество программ, которые из 10 получают 22, но не проходит через 15 и перемножить найденные значения. Сначала найдём количество программ, получающих 10 из 1.
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.
Верны следующие соотношения.
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n – 1), так как существует единственный способ получения n из n – 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2.
Если n > 1, то R(n) = R(n : 2) + R(n – 1).
Если n = 1, то R(n) = 1 (два способа: прибавление единицы и удвоение).
Теперь можно постепенно вычислить все значения:
R(2) = R(1) + R(1) = 1 + 1 = 2 = R(3);
R(4) = R(2) + R(3) = 2 + 2 = 4 = R(5);
R(6) = R(3) + R(5) = 2 + 4 = 6 = R(7);
R(8) = R(4) + R(7) = 4 + 6 = 10 = R(9);
R(10) = R(5) + R(9) = 4 + 10 = 14.
Программ, получающих из числа 10 число 22 и не содержащих 15, всего две: 211, 12.
Таким образом, находим ответ: 14 · 2 = 28.
Ответ: 28.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 15:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y)
print(f(1, 10) * f(10, 22))
Ответ: 28
