Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, ..., x5, y1, ..., y5, z1,..., z5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4) ∧ (z4 → z5) = 1
x5 ∧ y5 ∧ z5 = 0
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, ..., x5, y1, ..., y5, z1, ..., z5, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
x5 ∧ y5 ∧ z5 = 0
Решением этого уравнения являются наборы, в которых есть хотя бы один ноль, а именно: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
Теперь заметим, что первые три уравнения решаются аналогично.
Рассмотрим первое из них.
Пусть x5 = 0. Тогда все остальные переменные также равны нулю и уравнение имеет единственное решение.
Теперь пусть x5 = 1. Тогда решений будет 5: (0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1) и (1, 1, 1, 1, 1).
Теперь зафиксируем некоторый набор (x5, y5, z5).
Количество решений всей системы в таком случае будет равно произведению количеств решений каждого из уравнений, так как они независимы друг от друга.
И как мы уже выяснили, если последняя переменная равна нулю, то уравнение имеет 1 решение, а если равна единице, то 5 решений.
Итого для каждого набора количество решений равно 5a, где a — количество единиц в наборе.
Итого получаем: 52 + 52 + 52 + 51 + 51 + 51 + 50 = 25 + 25 + 25 + 5 + 5 + 5 + 1 = 91