Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, ..., x4, y1, ..., y4, z1,..., z4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2→ z3) ∧ (z3 → z4) = 1
x4 ∧ y4 ∧ z4 = 0
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, ..., x4, y1, ..., y4, z1, ..., z4, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
x4 ∧ y4 ∧ z4 = 0
Решением этого уравнения являются наборы, в которых есть хотя бы один ноль, а именно: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
Теперь заметим, что первые три уравнения решаются аналогично.
Рассмотрим первое из них.
Пусть x4 = 0. Тогда все остальные переменные также равны нулю и уравнение имеет единственное решение.
Теперь пусть x4 = 1. Тогда решений будет 4: (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) и (1, 1, 1, 1).
Теперь зафиксируем некоторый набор (x4, y4, z4).
Количество решений всей системы в таком случае будет равно произведению количеств решений каждого из уравнений, так как они независимы друг от друга.
И как мы уже выяснили, если последняя переменная равна нулю, то уравнение имеет 1 решение, а если равна единице, то 4 решения.
Итого для каждого набора количество решений равно 4a, где a — количество единиц в наборе.
Итого получаем: 42 + 42 + 42 + 41 + 41 + 41 + 40 = 16 + 16 + 16 + 4 + 4 + 4 + 1 = 61