Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д26 C3 № 8114
i

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в одну из куч (по сво­е­му вы­бо­ру) один ка­мень или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. На­при­мер, пусть в одной куче 10 кам­ней, а в дру­гой 7 кам­ней; такую по­зи­цию в игре будем обо­зна­чать (10, 7). Тогда за один ход можно по­лу­чить любую из четырёх по­зи­ций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы де­лать ходы, у каж­до­го иг­ро­ка есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней.

Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда сум­мар­ное ко­ли­че­ство кам­ней в кучах ста­но­вит­ся не менее 55. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший такую по­зи­цию, что в кучах всего будет 55 или боль­ше кам­ней.

В на­чаль­ный мо­мент в пер­вой куче было 5 кам­ней, во вто­рой куче – S кам­ней; 1 ≤ S ≤ 49.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка – зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния. Во всех слу­ча­ях обос­но­вы­вай­те свой ответ.

1.  а) Ука­жи­те все такие зна­че­ния числа S, при ко­то­рых Петя может вы­иг­рать за один ход, и со­от­вет­ству­ю­щие вы­иг­ры­ва­ю­щие ходы. Если при не­ко­то­ром зна­че­нии S Петя может вы­иг­рать не­сколь­ки­ми спо­со­ба­ми,

до­ста­точ­но ука­зать один вы­иг­ры­ва­ю­щий ход.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет зна­че­ний S, при ко­то­рых Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может вы­иг­рать своим пер­вым ходом?

2.  Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, причём од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

− Петя не может вы­иг­рать за один ход;

− Петя может вы­иг­рать своим вто­рым ходом не­за­ви­си­мо от того, как будет хо­дить Ваня.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Пети.

3.  Ука­жи­те зна­че­ние S, при ко­то­ром од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

− у Вани есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать пер­вым или вто­рым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стра­те­гии, ко­то­рая поз­во­лит ему га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать пер­вым ходом.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани. По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии Вани (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те ходы,

в узлах ука­зы­вай­те по­зи­ции. В за­да­ни­ях 2 и 3 до­ста­точ­но ука­зать одно зна­че­ние S и объ­яс­нить, по­че­му это

зна­че­ние удо­вле­тво­ря­ет усло­вию со­от­вет­ству­ю­ще­го за­да­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  

      a) при S боль­ше или равно 25 Петя может вы­иг­рать за один ход, про­сто уве­ли­чив ко­ли­че­ство кам­ней во вто­рой куче в два раза. Учи­ты­вая на­чаль­ное усло­вие, по­лу­ча­ем ответ  — S при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 25; 49 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ;

б)  ни од­но­го, так как при S мень­ше 25 Петя может уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в пер­вой кучке на 1 и по­лу­чить со­сто­я­ние левая круг­лая скоб­ка 6, S пра­вая круг­лая скоб­ка , из ко­то­ро­го нет вы­иг­рыш­но­го хода.

2.  S = 24. Петя де­ла­ет ход в левая круг­лая скоб­ка 6, 24 пра­вая круг­лая скоб­ка . Те­перь после лю­бо­го хода Вани он может вы­иг­рать.

3.  S = 23:

 

По­ло­же­ния после оче­ред­ных ходов
Ис­ход­ная по­зи­ция1-й ход Пети (разо­бра­ны все ходы)1-й ход Вани (толь­ко ход по стра­те­гии)2-й ход Пети (разо­бра­ны все ходы)2-й ход Вани (толь­ко ход по стра­те­гии)
(5, 23)(5, 24)(6, 24)(7, 24)(7, 48)
(6, 25)(6, 50)
(6, 23)(12, 24)(12, 48)
(6, 48)(6, 96)
(5, 46)(5, 92)
(10, 23)(10, 46)
Спрятать критерии
Критерии проверки:

В за­да­че от уче­ни­ка тре­бу­ет­ся вы­пол­нить три за­да­ния. Их труд­ность воз­рас­та­ет. Ко­ли­че­ство бал­лов в целом со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству вы­пол­нен­ных за­да­ний (по­дроб­нее см. ниже). Ошиб­ка в ре­ше­нии, не ис­ка­жа­ю­щая ос­нов­но­го за­мыс­ла и не при­вед­шая к не­вер­но­му от­ве­ту, на­при­мер ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка при вы­чис­ле­нии ко­ли­че­ства кам­ней в за­клю­чи­тель­ной по­зи­ции, при оцен­ке ре­ше­ния не учи­ты­ва­ет­ся.

Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным пол­но­стью, если вы­пол­не­ны пол­но­стью оба пунк­та а) и б). Пункт а) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным пол­но­стью, если пра­виль­но ука­за­ны все по­зи­ции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и ука­за­но, каким дол­жен быть пер­вый ход. Пункт б) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным, если пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом и опи­са­на стра­те­гия Вани, то есть по­ка­за­но, как Ваня может по­лу­чить кучу, в ко­то­рой со­дер­жит­ся нуж­ное ко­ли­че­ство кам­ней, при любом ходе Пети.

Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным ча­стич­но, если пра­виль­но ука­за­ны все по­зи­ции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и явно ска­за­но, что при любом ходе Пети Ваня может по­лу­чить кучу, ко­то­рая со­дер­жит нуж­ное для вы­иг­ры­ша ко­ли­че­ство кам­ней. От­ли­чие от пол­но­го ре­ше­ния в том, что явно не ука­за­ны ходы, ве­ду­щие к вы­иг­ры­шу.

Вто­рое за­да­ние вы­пол­не­но, если пра­виль­но ука­за­ны обе по­зи­ции, вы­иг­рыш­ные для Пети, и опи­са­на со­от­вет­ству­ю­щая стра­те­гия Пети — так, как это на­пи­са­но в при­ме­ре ре­ше­ния, или дру­гим спо­со­бом, на­при­мер с по­мо­щью де­ре­ва всех пар­тий, воз­мож­ных при вы­бран­ной стра­те­гии Пети.

Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но, если пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, вы­иг­рыш­ная для Вани, и по­стро­е­но де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при Ва­ни­ной стра­те­гии. Долж­но быть явно ска­за­но, что в этом де­ре­ве в каж­дой по­зи­ции, где дол­жен хо­дить Петя, разо­бра­ны все воз­мож­ные ходы, а для по­зи­ций, где дол­жен хо­дить Ваня, — толь­ко ход, со­от­вет­ству­ю­щий стра­те­гии, ко­то­рую вы­брал Ваня. Во всех слу­ча­ях стра­те­гии могут быть опи­са­ны так, как это сде­ла­но в при­ме­ре ре­ше­ния, или дру­гим спо­со­бом.

 

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вы­пол­не­ны вто­рое и тре­тье за­да­ния. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или ча­стич­но. Здесь и далее в ре­ше­ни­ях до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му от­ве­ту.3
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий.

− Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью.

− Пер­вое и вто­рое за­да­ния вы­пол­не­ны пол­но­стью.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или ча­стич­но, для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний ука­за­ны пра­виль­ные зна­че­ния S.

2
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью.

− Во вто­ром за­да­нии пра­виль­но ука­за­но одно из двух воз­мож­ных зна­че­ний S, и для этого зна­че­ния ука­за­на и обос­но­ва­на вы­иг­рыш­ная стра­те­гия Пети.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но ча­стич­но, и для од­но­го из осталь­ных за­да­ний пра­виль­но ука­за­но зна­че­ние S.

− Для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний пра­виль­но ука­за­ны зна­че­ния S.

1
Не вы­пол­не­но ни одно из усло­вий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: ЕГЭ 05.05.2015. До­сроч­ная волна
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026