Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ..., x5, y1, y2, ..., y5, z1, z2, ..., z5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2→ z3) ∧ (z3 → z4) ∧ (z4→ z5) = 1
x1 ∨ y1 ∨ z1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ..., x5, y1, y2, ..., y5, z1, z2, ..., z5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем семь вариантов — любые комбинации x1, y1, z1 кроме 000.
Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
Первое уравнение описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5}. Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для второго и третьего выполняется это также справедливо. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, слева будут нули, а справа — единицы. То есть возможно шесть наборов: 1 1111, 0 1111, 0 0111 0 0011, 0 0001, 0 0000.
Для набора переменных x1, y1, z1 001 будет 5 · 5 · 1 = 25 комбинаций. Для наборов переменных x1, y1, z1 010 и 100 также будет 25 комбинаций.
Для набора переменных x1, y1, z1 011 будет 5 · 1 · 1 · 1=5 комбинаций. Для наборов 010 и 100 также будет 5 комбинаций.
Для набора переменных x1, y1, z1 111 будет одна комбинация.
Общее число полученных наборов: 3 · 25 + 3 · 5 + 1 = 91.
Ответ: 91.