Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ..., x6, y1, y2, ..., y6, z1, z2, ..., z6, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) ∧ (x5→ x6) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5) ∧ (y5 → y6) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2→ z3) ∧ (z3 → z4) ∧ (z4→ z5) ∧ (z5 → z6) = 1
x1 ∨ y1 ∨ z1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ..., x6, y1, y2, ..., y6, z1, z2, ..., z6, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Из последнего уравнения следует, что глобально мы имеем семь вариантов — любые комбинации x1, y1, z1 кроме 000.
Логическое И истинно, только тогда, когда истины все утверждения, а импликация ложна только в случае, если из истинного следует ложное.
Первое уравнени описывает ряд переменных {x1, x2, x3, x4, x5, x6}. Так как из переменной с более низким номером всегда следует переменная с более высоким, если любую переменную из этого ряда приравнять 1, то все следующие должны также быть равны 1. Для второго и третьего это также справедливо. Иначе говоря, если записать переменные x в порядке возрастания их номеров, слева будут нули, а справа — единицы. То есть возможны семь наборов: 111 111, 011 111, 001 111, 000 111, 000 011, 000 001, 000 000.
Для набора переменных x1, y1, z1 001 будет 6 · 6 · 1 = 36 комбинаций. Для наборов переменных x1, y1, z1 010 и 100 также будет 36 комбинаций.
Для набора переменных x1, y1, z1 011 будет 6 · 1 · 1 · 1=6 комбинаций. Для наборов 101 и 110 также будет 6 комбинаций.
Для набора переменных x1, y1, z1 111 будет одна комбинация.
Общее число полученных наборов: 3 · 36+ 3 · 6 + 1 = 127.
Ответ: 127.