Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение
(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {4, 8, 12, 16}) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
Введем обозначения:
(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ≡ P; (x ∈ {4, 8, 12, 16}) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.
Преобразовав, получаем:
P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ А
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Выражения ¬P ∨ ¬Q истинно при всех значениях x, кроме 4, 8 и 12. Следовательно, промежуток А должен содержать точки 4, 8 и 12. То есть минимальный набор точек в промежутке А ≡ {4, 8, 12}. Сумма элементов множества А равна 24.
Ответ: 24.