У исполнителя четыре команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1
2. сделай чётное
3. сделай нечетное
4. умножь на 10
Первая из них увеличивает на 1 исходное число x, вторая умножает это число на 2, третья переводит число x в число 2x+1, четвертая умножает его на 10. Например, вторая команда переводит число 10 в число 20, а третья переводит число 10 в число 21.
Программа для исполнителя — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 14?
Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.
Верны следующие соотношения:
1. Если n нечётное, то тогда R(n) = R(n − 1) + R((n − 1) / 2), (если n > 3) так как есть два способа получения n: прибавлением единицы или использованием команды 3.
2. Если n чётное, но не делится на 10, то тогда R(n) = R(n − 1) + R(n / 2), (если n > 2) так как есть два способа получения n: прибавлением единицы или использованием команды 2.
3. Если n чётное и делится на 10, то тогда R(n) = R(n − 1) + R(n / 2) + R(n / 10), так как есть три способа получения n: прибавлением единицы, использованием команды 2 или использованием команды 4.
Достаточно вычислить значения R(n) для всех чисел не превосходящих 14.
Имеем:
R(1) = 1.
R(2) = R(1) + R(1) = 2,
R(3) = R(2) + R(1) = 3,
R(4) = R(3) + R(2) = 5,
R(5) = R(4) + R(2) = 5 + 2 = 7,
R(6) = R(5) + R(3) = 7+ 3 = 10,
R(7) = R(6) + R(3) = 10 + 3 = 13,
R(8) = R(7) + R(4) = 13 + 5 = 18,
R(9) = R(8) + R(4) = 18 + 5 = 23,
R(10) = R(9) + R(5) + R(1) = 23 + 7 +1 = 31,
R(11) = R(10) + R(5) = 31 + 7 = 38,
R(12) = R(11) + R(6) = 38 + 10 = 48,
R(13) = R(12) + R(6) = 48 + 10 = 58,
R(14) = R(13) + R(7) = 58 + 13 = 71.
Ответ: 71.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y) + f(2 * x + 1, y) + f(x * 10, y)
print(f(1, 14))