Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Ответ:
Заметим, что значение S должно быть меньше 64, поскольку иначе Ваня сможет выиграть своим первым ходом. Первое значение S — 63. В этом случае Петя может добавить в кучу один камень, получив кучу с 64 камнями, и при любом ходе Вани выиграть своим вторым ходом.
Второе значение S — 32. В этом случае Петя может увеличить количество камней в куче в два раза и получить кучу из 64 камней. При любом ходе Вани Петя выигрывает своим вторым ходом.
Ответ: 32 63.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 4 and x >= 129:
return 1
elif h == 4 and x < 129:
return 0
elif x >= 129 and h < 4:
return 0
else:
if h % 2 != 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего
for x in range(1, 129):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
Приведём решение Евгения Соколова на языке Python.
def f(s, t, L, d):
if s >= t: return (-1 if L % 2 == 0 else 1)
elif L > d: return 0
else:
r1 = f(s + 1, t, L + 1, d)
r2 = f(s * 2, t, L + 1, d)
if L % 2 == 0: return max(r1, r2)
else: return min(r1, r2)
r = {'№19': [], '№20': [], '№21': []}
for s in range(1, 129):
if f(s, 129, 0, 1) != 1 and f(s, 129, 0, 2) == -1:
r['№19'].append(s)
if f(s, 129, 0, 1) != 1 and f(s, 129, 0, 3) == 1:
r['№20'].append(s)
if f(s, 129, 0, 4) == -1 and f(s, 129, 0, 2) != -1:
r['№21'].append(s)
print(r)