Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, х7, х8, x9, x10 которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 —> х2) —> (хЗ—> х4) = 1
(хЗ —> х4) —> (х5 —> хб) = 1
(х5 —> хб) —> (х7 —> х8) = 1
(х7 —> х8) —> (х9 —> х10) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, хЗ, х4, х5, хб, х7, х8, x9, x10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 —> х2) = y1; (хЗ—> х4) = y2; (х5 —> хб) = y3; (х7 —> х8) = y4; (х9 —> х10) = y5.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения.
(y1 —> y2) ∧ (y2 —> y3) ∧ (y3 —> y4) ∧ (y4 —> y5) = 1.
Для того, чтобы это равенство было выполнено, ни одна из импликаций не должна быть ложной
Вот все возможные варианты значений "y"(ключевым является тот факт, что переменные y независимы):
| y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Импликация x1 —> х2 дает "0" при одном наборе переменных и "1" при трех наборах переменных.
Поскольку каждая из переменных "y" независима от другой, для каждой строки полученной таблицы перемножаем количество вариантов комбинаций исходных переменных:
| y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | вариантов |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1·1·1·1·1 = 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1·1·1·1·3 = 3 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1·1·1·3·3 = 9 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1·1·3·3·3 = 27 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1·3·3·3·3 = 81 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3·3·3·3·3 = 243 |
Сложим количество вариантов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364.