Тип 15 № 40990 
Преобразование логических выражений. Числовые отрезки
i
На числовой прямой даны два отрезка: P = [19; 84] и Q = [4; 51]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого формула
(x ∈ P) → (¬(x ∈ Q) → ¬((x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ A)))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х).
Решение. Введем обозначения:
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
P → (¬Q → ¬(P ∧ ¬A)) = ¬P ∨ Q ∨ ¬P ∨ A = ¬P ∨ Q ∨ A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬P ∨ Q истинно на множестве (−∞, 51] ∪ (84, +∞). Тогда A должно быть истинным на множестве (51; 84]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 84 − 51 = 33.
Ответ: 33.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
Приведём решение Сергея Донец на PascalABC.NET:
begin
var P := 19..84;var Q := 4..51;
var setX:=|P.First,P.Last,Q.First,Q.Last,-999,999|
.SelectMany(x->|x-0.1,x,x+0.1|);
setX.Order.Combinations(2).Select(m->m[0]..m[1])
.Where(A->setX.All(x->
(x in P)<=(not(x in Q)<=not((x in P)and not(x in A)))
)).Min(A->A.Size).Round.Print;
end.
Ответ: 33
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем