На числовой прямой даны два отрезка: P = [19; 84] и Q = [4; 51]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого формула
(x ∈ P) → (¬(x ∈ Q) → ¬((x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ A)))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х).
P → (¬Q → ¬(P ∧ ¬A)) = ¬P ∨ Q ∨ ¬P ∨ A = ¬P ∨ Q ∨ A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬P ∨ Q истинно на множестве (−∞, 51] ∪ (84, +∞). Тогда A должно быть истинным на множестве (51; 84]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 84 − 51 = 33.
Ответ: 33.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
