ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 33521 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или добавить столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Например, пусть в одной куче 5 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (5, 9). За один ход из позиции (5, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 9), (14, 9), (5, 10), (5, 14). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 75 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Спрятать решение

Решение.

Игра должна завершиться за 2 хода. Заметим, что при неудачном первом ходе Пети для поиска наименьшего S необходимо рассмотреть ситуацию, когда Петя своим первым ходом прибавляет к первой куче количество камней во второй куче, а Ваня своим вторым ходом прибавляет ко второй куче количество камней в первой куче. То есть:

$левая круглая скобка 7,S правая круглая скобка \Rightarrow левая круглая скобка 7 плюс S,S правая круглая скобка \Rightarrow левая круглая скобка 7 плюс S,S плюс 7 плюс S правая круглая скобка больше или равно 75,$

$7 плюс S плюс S плюс 7 плюс S больше или равно 75 равносильно 3S\geqslant61 равносильно S\geqslant21.$

Таким образом, наименьшее S  — 21.

Ответ: 21.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 3 and x + y >= 75:

return 1

elif h == 3 and x + y < 75:

return 0

elif x + y >= 75 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x + y, y, h + 1) or f(x, y + x, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x + y, y, h + 1) or f(x, y + x, h + 1) # стратегия проигравшего(неудачный ход)

for x in range(1, 68):

if f(x, 7, 1) == 1:

print(x)

break

Аналоги к заданию № 33521: 33764 Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.2 Цепочки, деревья, списки, графы, матрицы, псевдослучайные последовательности

Спрятать решение · Помощь

Тип 20 № 33522 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или добавить столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Например, пусть в одной куче 5 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (5, 9). За один ход из позиции (5, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 9), (14, 9), (5, 10), (5, 14). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 75 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Решение.

Рассмотрим значение S  =  20. В этом случае Петя своим первым ходом может прибавить к первой куче количество камней во второй куче и получить кучу (27, 20). После первого хода Вани может возникнуть одна из четырёх позиций: (28, 20), (47, 20), (27, 21), (27, 47). Во всех случаях Петя прибавляет количество камней в большей куче к другой куче и выигрывает своим вторым ходом.

Второе значение S  — 33. При S  =  33 Петя может добавить в первую кучу один камень и получить позицию (8, 33). После первого хода Вани может возникнуть одна из четырёх позиций: (9, 33), (41, 33), (8, 34), (8, 41). Во всех случаях Петя прибавляет количество камней в большей куче к другой куче и выигрывает своим вторым ходом.

Таким образом, ответ  —2033.

Ответ: 2033.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y >= 75:

return 1

elif h == 4 and x + y < 75:

return 0

elif x + y >= 75 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x + y, y, h + 1) or f(x, y + x, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x + y, y, h + 1) and f(x, y + x, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 68):

if f(x, 7, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 33522: 33765 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 33523 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или добавить столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Например, пусть в одной куче 5 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (5, 9). За один ход из позиции (5, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 9), (14, 9), (5, 10), (5, 14). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 67.

Найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Такое значение S  — 32. При S  =  32 Петя своим первым ходом может получить одну из четырёх позиций: (8, 32), (39, 32), (7, 33), (7, 39).

В позициях (39, 32) и (7, 39) Ваня прибавляет количество камней в большей куче к другой куче и выигрывает своим первым ходом.

Из позиций (8, 32) и (7, 33) Ваня может получить позицию (8, 33). В этом случае после второго хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (9, 33), (41, 33), (8, 34), (8, 41). Во всех случаях Ваня прибавляет количество камней в большей куче к другой куче и выигрывает своим вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 32.

Ответ: 32.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y >= 75:

return 1

elif h == 5 and x + y < 75:

return 0

elif x + y >= 75 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x + y, y, h + 1) or f(x, y + x, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x + y, y, h + 1) and f(x, y + x, h + 1) # сратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y >= 75:

return 1

elif h == 3 and x + y < 75:

return 0

elif x + y >= 75 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x + 1, y, h + 1) or f1(x, y + 1, h + 1) or f1(x + y, y, h + 1) or f1(x, y + x, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x + 1, y, h + 1) and f1(x, y + 1, h + 1) and f1(x + y, y, h + 1) and f1(x, y + x, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 68):

if f(x, 7, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 68):

if f1(x, 7, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 33523: 33766 Все

Решение · Помощь