ЕГЭ–2025, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 20 № 33490 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (7, 9). За один ход из позиции (7, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (8, 9), (28, 9), (7, 10), (7, 36). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 151. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 151 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 141.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что S должно быть меньше 36, поскольку иначе у Пети есть возможность выиграть первым ходом. Рассмотрим значение S  =  35. В этом случае Петя своим первым ходом может добавить в первую кучу один камень и получить кучу (10, 35). После первого хода Вани может возникнуть одна из четырёх позиций: (11, 35), (40, 35), (10, 36), (10, 140). Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим вторым ходом.

Второе значение S  — 6. При S  =  6 Петя увеличивает количество камней в первой куче в четыре раза и получает позицию (36, 6). После первого хода Вани может возникнуть одна из четырёх позиций: (37, 6), (144, 6), (36, 7), (36, 24). Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 635.

Ответ: 635.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y >= 151:

return 1

elif h == 4 and x + y < 151:

return 0

elif x + y >= 151 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x * 4, y, h + 1) or f(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x * 4, y, h + 1) and f(x, y * 4, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 142):

if f(x, 9, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 29668: 33099 33100 33192 ...33099 33100 33192 33490 Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.2 Цепочки, деревья, списки, графы, матрицы, псевдослучайные последовательности

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь

Тип 19 № 33489 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (7, 9). За один ход из позиции (7, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (8, 9), (28, 9), (7, 10), (7, 36). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 141.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна

Решение.

Заметим, что игра должна закончится в 2 хода. Минимальное значение количества камней в обеих кучах, при котором игра заканчивается,  — 151. Эта ситуация возможна, например, когда в первой куче 9 камней, а во второй  — 142. Значит, чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом, количество камней во второй куче должно быть ≥36. Следовательно, после первого хода Пети во второй куче должно получиться ≥36 камней. Это возможно при значении S  =  9. Заметим, что эту последовательность ходов можно применить к первой куче. Тогда минимальное значение S  =  7.

При таком минимальном значении S Ваня выиграет своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Ответ: 7.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 3 and x + y >= 151:

return 1

elif h == 3 and x + y < 151:

return 0

elif x + y >= 151 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x * 4, y, h + 1) or f(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x * 4, y, h + 1) or f(x, y * 4, h + 1) # стратегия проигравшего(неудачный ход)

for x in range(1, 142):

if f(x, 9, 1) == 1:

print(x)

break

Аналоги к заданию № 29667: 33098 33191 33489 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 33491 Добавить в вариант

В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче  — S камней; 1 ≤ S ≤ 141.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Такое значение S  — 34. При S  =  34 Петя своим первым ходом может получить одну из четырёх позиций: (10, 34), (36, 34), (9, 35), (9, 136).

В позициях (36, 34) и (9, 136) Ваня увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим первым ходом.

Из позиций (10, 34) и (9, 35) Ваня может получить позицию (10, 35). В этом случае после второго хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (11, 35), (40, 35), (10, 36), (10, 140). Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим вторым ходом.

Таким образом, ответ  — 34.

Ответ: 34.

Примечание. При S ≤ 33 Петя своим первым ходом может добавить в меньшую кучу один камень. Тогда либо Ваня увеличивает количество камней в одной из куч в 4 раза и проигрывает Пете, либо игра не завершается за 4 хода.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y >= 151:

return 1

elif h == 5 and x + y < 151:

return 0

elif x + y >= 151 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x * 4, y, h + 1) or f(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x * 4, y, h + 1) and f(x, y * 4, h + 1) # сратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y >= 151:

return 1

elif h == 3 and x + y < 151:

return 0

elif x + y >= 151 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x + 1, y, h + 1) or f1(x, y + 1, h + 1) or f1(x * 4, y, h + 1) or f1(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x + 1, y, h + 1) and f1(x, y + 1, h + 1) and f1(x * 4, y, h + 1) and f1(x, y * 4, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 142):

if f(x, 9, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 142):

if f1(x, 9, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 29669: 33193 33491 Все

Решение · Помощь