Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Такое значение S — 20. При S = 20 Петя своим первым ходом может получить одну из четырёх позиций: (6, 20), (20, 20), (5, 21), (5, 80).
В позициях (20, 20) и (5, 80) Ваня увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим первым ходом.
Из позиций (6, 20) и (5, 21) Ваня может получить позицию (6, 21). В этом случае после второго хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (7, 21), (24, 21), (6, 22), (6, 84). Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в большей куче в четыре раза и выигрывает своим вторым ходом.
Таким образом, ответ — 20.
Ответ: 20.
Примечание. При S ≤ 19 Петя своим первым ходом может добавить в меньшую кучу один камень. Тогда либо Ваня увеличивает количество камней в одной из куч
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, y, h):
if (h == 3 or h == 5) and x + y >= 91:
return 1
elif h == 5 and x + y < 91:
return 0
elif x + y >= 91 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x * 4, y, h + 1) or f(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x * 4, y, h + 1) and f(x, y * 4, h + 1) # сратегия проигравшего(любой ход)
def f1(x, y, h):
if h == 3 and x + y >= 91:
return 1
elif h == 3 and x + y < 91:
return 0
elif x + y >= 91 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, y, h + 1) or f1(x, y + 1, h + 1) or f1(x * 4, y, h + 1) or f1(x, y * 4, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, y, h + 1) and f1(x, y + 1, h + 1) and f1(x * 4, y, h + 1) and f1(x, y * 4, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 86):
if f(x, 5, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 86):
if f1(x, 5, 1) == 1:
print(x)
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится
В начальный момент в первой куче было
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными,
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.