Исполнитель РазДваТри преобразует число на экране.
У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Прибавить 2
3. Умножить на 3
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 3.
Программа для исполнителя РазДваТри — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 1 в число 15, и при этом траектория вычислений содержит число 9 и не содержит числа 13?
Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 312 при исходном числе 4 траектория будет состоять из чисел 12, 13, 15.
Искомое количество программ равно количеству программ, получающих из числа 1 число 15. Траектория вычислений не должна содержать числа 13 и должна содержать число 9.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 9 преобразуют в число n. Для учёта того, что траектория вычислений не содержит число 13, не будем учитывать R(13) при подсчёте соотношений.
Верны следующие соотношения:
1. R(n) = R(n−1) + R(n−2) + R(n/3) — если n делится на три, при n > 2.
2. R(n) = R(n−1) + R(n−2) — если n не делится на три, при n > 2.
R(1) = 1.
R(2) = 1.
R(3) = R(2) + R(1) + R(1) = 3.
R(4) = R(3) + R(2) = 4.
R(5) = R(4) + R(3) = 7.
R(6) = R(5) + R(4) + R(2) = 12.
R(7) = R(6) + R(5) = 19.
R(8) = R(7) + R(6) = 31.
R(9) = R(8) + R(7) + R(3) = 53.
P(10) = P(9) = 1.
P(11) = P(10) + P(9) = 2.
P(12) = P(11) + P(10) = 3.
P(14) = P(12) = 3.
P(15) = P(14) = 3.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 53 · 3 = 159.
Ответ: 159.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 13:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x + 2, y) + f(x * 3, y)
print(f(1, 9) * f(9, 15))