Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу два камня или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 80. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший суммарно в обеих кучах 80 или более камней.
В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй S камней, 1 ≤ S ≤ 72.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.
Выполните следующие задания.
Задание 1.
а) Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом, причём у Пети есть ровно один выигрывающий ход.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2.
Укажите значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
—Петя не может выиграть за один ход.
—Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
—у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть своим первым или вторым ходом при любой игре Пети.
—у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть своим первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.
Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет верным ответом на это задание.
Задание 1.
а) Петя может выиграть за один ход (увеличив количество камней в два раза), если S = 37, …, 65. При меньших значениях S за один ход нельзя получить суммарно в кучах 80 или более камней. При S = 66, …, 72. у Пети есть более одного выигрывающего хода.
б) Ваня может выиграть первым ходом (независимо от того, как сходил Петя), при S = 36. Своим первым ходом Петя может сделать в кучах: (9, 36), (14, 36), (7, 38), (7, 72). Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней во второй куче в 2 раза и выигрывает своим первым ходом.
Задание 2.
Возможные значения S: 18, 34, 35. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом. Однако для S 18 и 34 он может получить кучи (7, 36) (при S = 18 он увеличивает количество камней во второй куче в два раза, при S = 34 добавляет ко второй куче 2 камня). Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (в данном случае это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет. Позиция (7; 35) разобрана в пункте 3.
Задание 3.
Возможное значение S: 33. После первого хода Пети в кучах может быть: (9, 33), (14, 33), (7, 35), (7, 66). Если в кучах станет (14, 33) или (7, 66) камей, то Ваня увеличит количество камней во второй куче в 2 раза и выиграет своим первым ходом. В ситуации, когда в кучах (9, 33) или (7, 35) камней, Ваня добавляет в одну из куч 2 камня таким образом, чтобы получилось (9, 35) камней. В этом случае игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.
В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).
| Исходное положение | 1-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция) | 1-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция) | 2-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция) | 2-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция) |
|---|---|---|---|---|
| (7, 33) | (7+2, 33) = (9, 33) | (9, 33+2) = (9, 35) | (9+2, 35)=(11, 35) | (11, 35*2)=(11, 70)>> |
| (9, 35+2)=(9, 37) | (9, 37*2)=(9, 74)>> | |||
| (9*2, 35) = (18, 35) | (18, 35*2)=(18, 70)>> | |||
| (9, 35*2)=(9, 70) | (9, 70*2)=(9, 140)>> | |||
| (7, 33+2)=(7, 35) | (7+2, 35)=(9, 35) | (9+2, 35)=(11, 35) | (11, 35*2)=(11, 70)>> | |
| (9, 35+2)=(9, 37) | (9, 37*2)=(9, 74)>> | |||
| (9*2, 35) = (18, 35) | (18, 35*2)=(18, 70)>> | |||
| (9, 35*2)=(9, 70) | (9, 70*2)=(9, 140)>> | |||
| (7*2, 33) = (14, 33) | (14, 33*2) = (14, 66)>> | |||
| (7, 33*2)=(7, 66) | (7, 66*2) = (7, 132)>> | |||
Рис. 1. Дерево всех партий, возможных при описанной стратегии Пети. Ходы Пети показаны пунктирными стрелками, ходы Вани показаны сплошными стрелками. Заключительные позиции обозначены знаком >>.