≡ информатика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 15862

Исполнитель Вычислитель преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить на 1.

2. Умножить на 2.

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2.

Программа для Вычислителя — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 21 и при этом траектория вычислений содержит число 10 и не содержит числа 16?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.

Пояснение.

Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 1 число 10, на количество программ, получающих из числа 10 число 15 и на количество программ, получающих из числа 17 число 21, поскольку траектория вычислений не должна содержать числа 16.

Пусть R(n) — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 10 преобразуют в число n, а F(n) — количество программ, которые преобразуют число 17 в число n.

Верны следующие соотношения:

1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n − 1), так как существует единственный способ получения n из n − 1 — прибавление единицы. То же самое аналогично для P(n) и F(n).

2. Пусть n делится на 2, тогда R(n) = R(n / 2) + R(n − 1). То же самое аналогично для P(n) и F(n).

 

Постепенно вычислим значения R(n):

 

R(1) = 1.

R(2) = 2.

R(3) = R(2) = 2.

R(4) = R(2) + R(3) = 4.

R(5) = R(4) = 4.

R(6) = R(3) + R(5) = 6.

R(7) = R(6) = 6.

R(8) = R(4) + R(7) = 10.

R(9) = R(8) = 10.

R(10) = R(5) + R(9) = 14.

 

Теперь вычислим значения P(n):

 

P(10) = P(11) = P(12) = P(13) = P(14) = P(15) = 1.

 

Далее вычислим значения F(n):

 

F(18) = F(19) = F(20) = F(21) = 1.

 

Следовательно, количество программ, удовлетворяющих условию задачи равно 14 · 1 · 1 = 14.

 

Ответ: 14.

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Вариант 2., ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Вариант 1.