Исполнитель Фибо преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Прибавить 2
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2.
Программа для исполнителя Фибо — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 20 и при этом траектория вычислений содержит число 9 и не содержит числа 15?
Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 212 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 9, 10, 12.
Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 3 число 9, на количество программ, получающих из числа 9 число 14 и на количество программ, получающих из числа 16 число 20, поскольку траектория вычислений не должна содержать числа 15.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 3 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 9 преобразуют в число n, а F(n) — количество программ, которые преобразуют число 16 в число n.
Для всех n > 4 верны следующие соотношения:
1. R(n) = R(n − 1) + R(n − 2), так как существует два способа получения n — прибавлением единицы или прибавлением двойки. Аналогично P(n) = P(n − 1) + P(n − 2) и F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).
Последовательно вычислим значения R(n):
R(3) = 1.
R(4) = 1.
R(5) = R(3) + R(4) = 2.
R(6) = R(5) + R(4) = 3.
R(7) = R(6) + R(5) = 5.
R(8) = R(7) + R(6) = 8.
R(9) = R(8) + R(7) = 13.
Теперь вычислим значения P(n):
P(9) = 1.
P(10) = 1.
P(11) = P(9) + P(10) = 2.
P(12) = P(10) + P(11) = 3.
P(13) = P(11) + P(12) = 5.
P(14) = P(12) + P(13) = 8.
Теперь вычислим значения F(n):
F(16) = 1.
F(17) = 1.
F(18) = F(16) + F(17) = 2.
F(19) = F(17) + F(18) = 3.
F(20) = F(18) + F(19) = 5.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 13 · 8 · 5 = 520.
Ответ: 520.
