≡ информатика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 15117

Исполнитель Фибо преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

1. Прибавить 1

2. Прибавить 2

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2.

Программа для исполнителя Фибо — это последовательность команд.

Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 20 и при этом траектория вычислений содержит число 9 и не содержит числа 15?

Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 212 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 9, 10, 12.

Пояснение.

Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 3 число 9, на количество программ, получающих из числа 9 число 14 и на количество программ, получающих из числа 16 число 20, поскольку траектория вычислений не должна содержать числа 15.

Пусть R(n) — количество программ, которые число 3 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 9 преобразуют в число n, а F(n) — количество программ, которые преобразуют число 16 в число n.

Для всех n > 4 верны следующие соотношения:

1. R(n) = R(n − 1) + R(n − 2), так как существует два способа получения n — прибавлением единицы или прибавлением двойки. Аналогично P(n) = P(n − 1) + P(n − 2) и F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).

Последовательно вычислим значения R(n):

 

R(3) = 1.

R(4) = 1.

R(5) = R(3) + R(4) = 2.

R(6) = R(5) + R(4) = 3.

R(7) = R(6) + R(5) = 5.

R(8) = R(7) + R(6) = 8.

R(9) = R(8) + R(7) = 13.

 

Теперь вычислим значения P(n):

 

P(9) = 1.

P(10) = 1.

P(11) = P(9) + P(10) = 2.

P(12) = P(10) + P(11) = 3.

P(13) = P(11) + P(12) = 5.

P(14) = P(12) + P(13) = 8.

 

Теперь вычислим значения F(n):

 

F(16) = 1.

F(17) = 1.

F(18) = F(16) + F(17) = 2.

F(19) = F(17) + F(18) = 3.

F(20) = F(18) + F(19) = 5.

 

Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи равно 13 · 8 · 5 = 520.

 

Ответ: 520.