На вход программы поступает последовательность из N целых положительных чисел, все числа в последовательности различны. Рассматриваются все пары различных элементов последовательности (элементы пары не обязаны стоять в последовательности рядом, порядок элементов в паре не важен). Необходимо определить количество пар, для которых произведение элементов делится на 26.
Описание входных и выходных данных
В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (1 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно целое положительное число, не превышающее 10 000. В качестве результата программа должна напечатать одно число: количество пар, в которых произведение элементов кратно 26.
Пример входных данных:
4
2
6
13
39
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
4
Пояснение. Из четырёх заданных чисел можно составить 6 попарных произведений: 2·6, 2·13, 2·39, 6·13, 6·39, 13·39 (результаты: 12, 26, 78, 78, 234, 507). Из них на 26 делятся 4 произведения (2·13=26; 2·39=78; 6·13=78; 6·39=234).
Требуется написать эффективную по времени и по памяти программу для решения описанной задачи.
Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.
Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 Кбайт и не увеличивается с ростом N.
Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти, – 4 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени – 3 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, – 2 балла.
Вы можете сдать одну программу или две программы решения задачи (например, одна из программ может быть менее эффективна). Если Вы сдадите две программы, то каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо́льшая из двух оценок.
Перед текстом программы обязательно кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.
Произведение двух чисел делится на 26, если выполнено одно из следующих условий (условия не могут выполняться одновременно).
А. Оба сомножителя делятся на 26.
Б. Один из сомножителей делится на 26, а другой не делится.
В. Ни один из сомножителей не делится на 26, но один сомножитель делится на 2, а другой – на 13.
Примечание для проверяющего. Условие делимости произведения на 26 можно сформулировать проще, например, так: (один из сомножителей делится на 26) ИЛИ (один сомножитель делится на 2, а другой – на 13). Но в этом случае пара сомножителей может удовлетворять обоим условиям, что затруднит подсчёт количества пар.
При вводе чисел можно определять, делится ли каждое из них на 26, 2 и 13, и подсчитывать следующие значения:
1) n26 – количество чисел, кратных 26;
2) n13 – количество чисел, кратных 13, но не кратных 26;
3) n2 – количество чисел, кратных 2, но не кратных 26.
Примечание для проверяющего. Сами числа при этом можно не хранить. Каждое число учитывается не более чем в одном из счётчиков. Количество пар, удовлетворяющих условию А, можно вычислить по формуле n26·(n26 – 1)/2.
Количество пар, удовлетворяющих условию Б, можно вычислить по формуле n26·(N – n26).
Количество пар, удовлетворяющих условию В, можно вычислить по формуле n2·n13.
Поэтому искомое количество пар вычисляется по формуле n26·(n26 – 1)/2 + n26·(N – n26) + n2·n13.
Ниже приведена реализующая описанный алгоритм программа на языке Паскаль (использована версия PascalABC)
Пример 1. Программа на языке Паскаль. Программа эффективна по времени и по памяти
var
N: integer; {количество чисел}
a: integer; {очередное число}
n26, n13, n2: integer;
k26: integer; {количество требуемых пар}
i: integer;
begin
readln(N);
n26:=0; n13:=0; n2:=0;
for i:=1 to N do begin
readln(a);
if a mod 26 = 0 then
n26 := n26+1
else if a mod 13 = 0 then
n13 := n13 + 1
else if a mod 2 = 0 then
n2 := n2 + 1;
end;
k26 := n26*(n26-1) div 2 + n26*(N-n26) + n2*n13;
writeln(k26)
end.
Пример 2. Программа на языке Паскаль. Программа не эффективна по времени и по памяти
var N: integer;
a: array[1..1000] of integer;
i, j, k: integer;
begin
readln(N);
for i:=1 to N do read(a[i]);
k:= 0;
for i:= 1 to N-1 do
for j:= i+1 to N do
if a[i]*a[j] mod 26 = 0 then
k := k + 1;
writeln(k)
end.
Комментарии для проверяющего
1. При таком решении каждое прочитанное число обрабатывается (делаются проверки делимости, изменяются счётчики) и после этого не хранится. Таким образом, используемая память не зависит от длины последовательности. Время обработки очередного числа фиксировано, т. е. не зависит от длины последовательности. Время заключительных вычислений по приведённой в решении формуле также не зависит от длины последовательности. Поэтому при увеличении длины последовательности в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз. Таким образом, приведённая выше программа эффективна как по времени, так и по используемой памяти. Это решение оценивается 4 баллами.
2. Общая идея решения, эффективного по времени, состоит в следующем. Просматриваем по очереди все элементы последовательности и накапливаем значения вспомогательных величин (в приведённом решении это счётчики n2, n13, n26). После того как вся последовательность обработана и подсчитаны окончательные значения
вспомогательных величин, по этим значениям подсчитывается искомое количество пар. При этом можно использовать и другие вспомогательные величины. Например, можно вместо n2 и n13 использовать величины p2 и p13 – количества чисел, которые делятся соответственно на 2 и на 13. Так как n2 = p2 – n26 и n13 = p13 – n26, то итоговая формула примет вид: n26·(n26 – 1)/2 + n26·(N – n26) + (p2 – n26)·(p13 – n26). Ещё один возможный вариант (есть и другие!) – подсчёт количества чисел, которые не делятся на 26, – можно вести по формуле n2+n13+nx, где nx – количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 13. Значение nx можно вычислить с
помощью отдельного счётчика. Такая программа на языке Бейсик приведена ниже. Все подобные программы оцениваются в 4 балла. При любом наборе вспомогательных величин возможны различные способы записи итоговой формулы. Можно, например, раскрывать скобки и приводить подобные члены или, наоборот, выносить за скобки общие множители; можно вводить дополнительные переменные для отдельных слагаемых, а затем вычислять их сумму. Допустим любой способ записи вычислений, эквивалентный правильной формуле, выбранный способ записи
не влияет на оценку.
3. Возможно решение, основанное на описанных идеях, однако предварительно сохраняющее элементы последовательности в массив. Такое решение (если в нём нет ошибок) эффективно по времени, но неэффективно по памяти. Оно оценивается в 3 балла.
4. Решение, не эффективное ни по времени, ни по памяти, запоминает входную последовательность в массиве, после чего явно перебирает все возможные пары. Такое решение оценивается в 2 балла (см. критерии)
Пример 2. Программа на языке Бейсик. Программа эффективна по времени и по памяти, но использует формулы, отличные от формул программы из примера 1
N26 = 0
N2 = 0
N13 = 0
NX = 0
INPUT N
FOR I = 1 TO N
INPUT A
IF A MOD 26 = 0 THEN
N26 = N26 + 1
ELSE
IF A MOD 13 = 0 THEN
N13 = N13 + 1
ELSE
IF A MOD 2 = 0 THEN
N2 = N2 + 1
ELSE NX = NX + 1
END IF
END IF
END IF
NEXT I
K26 = N26*(N26-1)\2 + N26*(N2+N13+NX) + N2*N13
PRINT K26