Исполнитель М17 преобразует число, записанное на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1
2. Прибавить 2
3. Умножить на 3
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2, третья умножает на 3. Программа для исполнителя М17 – это последовательность команд. Сколько существует таких программ, которые преобразуют исходное число 2 в число 12 и при этом траектория вычислений программы содержит числа 8 и 10? Траектория должна содержать оба указанных числа.
Траектория вычислений программы – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 132 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 24, 26.
Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 2 число 8, на количество программ, получающих из числа 8 число 10, и на количество программ, получающих из числа 10 число 12.
Будем решать задачу с конца. Число 12 из числа 10 можно получить двумя способами (10+1+1; 10+2). Число 10 из числа 8 можно получить двумя способами (8+1+1; 8+2). Остается узнать количество способов получения числа 8 из числа 2. Начнем свои рассуждения с числа 3, т.к. двойка это начальное число. Тройку можно получить только одним способом – прибавив 1. Четверку получим двумя способами – прибавив единицу к тройке или добавив двойку к двойке и т. д. Запишем эти рассуждения в следующем виде:
R(2) = 1
R(3) = R(2) = 1
R(4) = R(3) + R(2) = 2
R(5) = R(4) + R(3) = 2 + 1 = 3
R(6) = R(5) + R(4) + R(2) = 3 + 2 + 1 = 6
R(7) = R(6) + R(5) = 6 + 3 = 9
R(8) = R(7) + R(6) = 9 + 6 = 15
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи равно R(2) * R(8) * R(10) * R(12) = 1 * 15 * 2 * 2 = 60.
Ответ: 60.
