Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д26 C3 № 13610
i

Два иг­ро­ка, Паша и Валя, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Паша. За один ход игрок может (1) до­ба­вить в кучу один ка­мень или (2) уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза или (3) уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в три раза. На­при­мер, имея кучу из 15 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 16, 30 или 45 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней. Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся не менее 42. Если при этом в куче ока­за­лось не более 72 кам­ней, то по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход. В про­тив­ном слу­чае по­бе­ди­те­лем ста­но­вит­ся его про­тив­ник. На­при­мер, если в куче было 30 кам­ней и Паша утро­ит ко­ли­че­ство кам­ней в куче, то игра за­кон­чит­ся и по­бе­ди­те­лем будет Валя. В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 41.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка – зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния.

1.  а) При каких зна­че­ни­ях числа S Паша может вы­иг­рать в один ход? Ука­жи­те все такие зна­че­ния и со­от­вет­ству­ю­щие ходы Паши.

б)  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 37, 38, 39, 40? Опи­ши­те вы­иг­рыш­ные стра­те­гии для этих слу­ча­ев.

2.  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 13? Опи­ши­те со­от­вет­ству­ю­щие вы­иг­рыш­ные стра­те­гии.

3.  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 12? По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход, в узлах – ко­ли­че­ство кам­ней в по­зи­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  а) Паша может вы­иг­рать пер­вым ходом, если S = 14, 15, …, 36, 41. При S = 41 Паше до­ста­точ­но до­ба­вить в кучу 1 ка­мень, при 21 ≤ S ≤ 36 до­ста­точ­но уве­ли­чить число кам­ней в два раза, при осталь­ных ука­зан­ных зна­че­ни­ях S нужно утро­ить ко­ли­че­ство кам­ней. За­ме­ча­ние для про­ве­ря­ю­ще­го. При S = 21, 22, 23, 24 Паша может также утро­ить ко­ли­че­ство кам­ней в куче. Уче­ник не обя­зан упо­ми­нать об этом.

б)  При S = 40 уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два или три раза не имеет смыс­ла, т. к. после та­ко­го хода вы­иг­ры­ва­ет про­тив­ник. По­это­му можно счи­тать, что един­ствен­но воз­мож­ный ход – это до­бав­ле­ние в кучу од­но­го камня. После этого в куче ста­нет 41 ка­мень и Валя вы­иг­ра­ет, до­ба­вив в кучу один ка­мень. Таким об­ра­зом, при S = 40 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали. При S = 39 Паша может до­ба­вить в кучу один ка­мень и по­лу­чить кучу из 40 кам­ней. В этой по­зи­ции вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый не дол­жен де­лать ход, т. е. у са­мо­го Паши. Таким об­ра­зом, при S = 39 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Паши. Ана­ло­гич­но, при S = 38 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали, а при S = 37 – у Паши.

2.  При S = 13 после пер­во­го хода Паши в куче будет либо 14 кам­ней, либо 26 кам­ней, либо 39 кам­ней. Во всех этих слу­ча­ях (см. п.1) вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый дол­жен хо­дить, те­перь это Валя. Таким об­ра­зом, при S = 13 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали. 3. При S = 12 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Паши. Своим пер­вым ходом Паша может до­ба­вить в кучу один ка­мень и по­лу­чить кучу, в ко­то­рой 13 кам­ней. В этой по­зи­ции вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый не дол­жен хо­дить (см. п. 2), то есть у Паши. В таб­ли­це изоб­ра­же­но де­ре­во воз­мож­ных пар­тий при опи­сан­ной стра­те­гии Паши. За­клю­чи­тель­ные по­зи­ции (в них вы­иг­ры­ва­ет Паша) подчёрк­ну­ты. На ри­сун­ке это же де­ре­во изоб­ра­же­но в гра­фи­че­ском виде (оба спо­со­ба изоб­ра­же­ния де­ре­ва до­пу­сти­мы).

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы

Вы­пол­не­ны вто­рое и тре­тье за­да­ния.

Для пер­во­го за­да­ния пра­виль­но пе­ре­чис­ле­ны по­зи­ции, в ко­то­рых Паша вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом (пункт 1(а)), и пра­виль­но ука­за­но, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию при ука­зан­ных зна­че­ни­ях S (пункт 1(б)). При этом до­пус­ка­ют­ся недочёты сле­ду­ю­щих типов:

— в п. 1(а) не ука­за­но, каким ходом вы­иг­ры­ва­ет Паша;

— в п. 1(б) не ука­за­но, что иг­ро­кам нет смыс­ла утра­и­вать ко­ли­че­ство кам­ней в куче.

Здесь и далее в ре­ше­ни­ях до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му от­ве­ту

3

Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий:

— вы­пол­не­но тре­тье за­да­ние;

— вы­пол­не­ны пер­вое и вто­рое за­да­ния;

— пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, при на­ли­чии недочётов, ука­зан­ных в кри­те­ри­ях на 3 балла; для вто­ро­го за­да­ния (i) пра­виль­но ука­за­но, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию в каж­дой из ука­зан­ных по­зи­ций, и (ii) пра­виль­но ука­зан пер­вый ход Паши при вы­иг­рыш­ной стра­те­гии, од­на­ко не ука­за­но, что после вы­бран­но­го хода Паши по­лу­ча­ет­ся по­зи­ция, вы­иг­рыш­ная для Вали; для тре­тье­го за­да­ния пра­виль­но ука­зан игрок, име­ю­щий вы­иг­рыш­ную стра­те­гию

2

Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий:

— пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, с недочётами, ука­зан­ны­ми в кри­те­ри­ях на 3 балла;

— вто­рое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, с недочётами, ука­зан­ны­ми в кри­те­ри­ях на 2 балла;

— для за­да­ний 2 и 3 во всех слу­ча­ях пра­виль­но ука­зан игрок, име­ю­щий вы­иг­рыш­ную стра­те­гию

1
Не вы­пол­не­но ни одно из усло­вий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл0
Мак­си­маль­ный балл3
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025