Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в мень­шую кучу один ка­мень, до­ба­вить два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. Из­ме­нять ко­ли­че­ство кам­ней в боль­шей куче не раз­ре­ша­ет­ся. Пусть, на­при­мер, в на­ча­ле игры в пер­вой куче 5 кам­ней, а во вто­рой  — 8 кам­ней, будем обо­зна­чать такую по­зи­цию (5, 8). Петя пер­вым ходом дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, он может по­лу­чить по­зи­ции (6, 8), (7, 8) и (10, 8). Если Петя по­лу­ча­ет по­зи­ции (6, 8) и (7, 8), Ваня сле­ду­ю­щим ходом тоже дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, а если Петя по­лу­ча­ет по­зи­цию (10, 8), Ваня дол­жен до­бав­лять камни во вто­рую кучу, так как те­перь она стала мень­шей.

Игра за­вер­ша­ет­ся, когда общее ко­ли­че­ство кам­ней в двух кучах ста­но­вит­ся более 80. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший 81 или боль­ше кам­ней в двух кучах.

В на­чаль­ный мо­мент в пер­вой куче было 12 кам­ней, а во вто­рой  — S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 68.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка.

Ука­жи­те ми­ни­маль­ное из таких зна­че­ний S, при ко­то­рых Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня смо­жет вы­иг­рать своим пер­вым ходом.

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в мень­шую кучу один ка­мень, до­ба­вить два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. Из­ме­нять ко­ли­че­ство кам­ней в боль­шей куче не раз­ре­ша­ет­ся. Пусть, на­при­мер, в на­ча­ле игры в пер­вой куче 5 кам­ней, а во вто­рой  — 8 кам­ней, будем обо­зна­чать такую по­зи­цию (5, 8). Петя пер­вым ходом дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, он может по­лу­чить по­зи­ции (6, 8), (7, 8) и (10, 8). Если Петя по­лу­ча­ет по­зи­ции (6, 8) и (7, 8), Ваня сле­ду­ю­щим ходом тоже дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, а если Петя по­лу­ча­ет по­зи­цию (10, 8), Ваня дол­жен до­бав­лять камни во вто­рую кучу, так как те­перь она стала мень­шей.

Игра за­вер­ша­ет­ся, когда общее ко­ли­че­ство кам­ней в двух кучах ста­но­вит­ся более 80. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший 81 или боль­ше кам­ней в двух кучах.

В на­чаль­ный мо­мент в пер­вой куче было 12 кам­ней, а во вто­рой  — S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 68.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка.

Ука­жи­те ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное из таких зна­че­ний S, при ко­то­рых Петя не может вы­иг­рать пер­вым ходом, но у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать вто­рым ходом при любой игре Вани.

В от­ве­те за­пи­ши­те сна­ча­ла ми­ни­маль­ное зна­че­ние, затем мак­си­маль­ное.

Ответ:

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в мень­шую кучу один ка­мень, до­ба­вить два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. Из­ме­нять ко­ли­че­ство кам­ней в боль­шей куче не раз­ре­ша­ет­ся. Пусть, на­при­мер, в на­ча­ле игры в пер­вой куче 5 кам­ней, а во вто­рой  — 8 кам­ней, будем обо­зна­чать такую по­зи­цию (5, 8). Петя пер­вым ходом дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, он может по­лу­чить по­зи­ции (6, 8), (7, 8) и (10, 8). Если Петя по­лу­ча­ет по­зи­ции (6, 8) и (7, 8), Ваня сле­ду­ю­щим ходом тоже дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, а если Петя по­лу­ча­ет по­зи­цию (10, 8), Ваня дол­жен до­бав­лять камни во вто­рую кучу, так как те­перь она стала мень­шей.

Игра за­вер­ша­ет­ся, когда общее ко­ли­че­ство кам­ней в двух кучах ста­но­вит­ся более 60. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший 61 или боль­ше кам­ней в двух кучах.

В на­чаль­ный мо­мент в пер­вой куче было 8 кам­ней, а во вто­рой  — S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 52.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка.

Ука­жи­те ми­ни­маль­ное из таких зна­че­ний S, при ко­то­рых Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня смо­жет вы­иг­рать своим пер­вым ходом.

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в мень­шую кучу один ка­мень, до­ба­вить два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. Из­ме­нять ко­ли­че­ство кам­ней в боль­шей куче не раз­ре­ша­ет­ся. Пусть, на­при­мер, в на­ча­ле игры в пер­вой куче 5 кам­ней, а во вто­рой  — 8 кам­ней, будем обо­зна­чать такую по­зи­цию (5, 8). Петя пер­вым ходом дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, он может по­лу­чить по­зи­ции (6, 8), (7, 8) и (10, 8). Если Петя по­лу­ча­ет по­зи­ции (6, 8) и (7, 8), Ваня сле­ду­ю­щим ходом тоже дол­жен до­бав­лять камни в первую кучу, а если Петя по­лу­ча­ет по­зи­цию (10, 8), Ваня дол­жен до­бав­лять камни во вто­рую кучу, так как те­перь она стала мень­шей.

Игра за­вер­ша­ет­ся, когда общее ко­ли­че­ство кам­ней в двух кучах ста­но­вит­ся более 60. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, то есть пер­вым по­лу­чив­ший 61 или боль­ше кам­ней в двух кучах.

В на­чаль­ный мо­мент в пер­вой куче было 8 кам­ней, а во вто­рой  — S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 52.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка.

Ука­жи­те ми­ни­маль­ное и мак­си­маль­ное из таких зна­че­ний S, при ко­то­рых Петя не может вы­иг­рать пер­вым ходом, но у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать вто­рым ходом при любой игре Вани.

В от­ве­те за­пи­ши­те сна­ча­ла ми­ни­маль­ное зна­че­ние, затем мак­си­маль­ное.