Тип 15 № 15955 
Преобразование логических выражений. Координатная плоскость
i
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A))
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
Решение. Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства 
являются все числа из отрезка [−9; 9]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−9; 9].
Аналогично, решениями неравенства 
являются числа из лучей 
и 
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−6; 6].
Тем самым, наименьшая длина отрезка A может быть равна 6 + 6 = 12.
Ответ: 12.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 15928.
Приведём решение Владимира Артамонова на языке Python.
a = set()
def f(x,a):
return ((x in a) <= (x**2 <= 81)) and ((x**2 <= 36) <= (x in a))
for x in range(-1000,1000):
if not f(x,a):
a.add(x)
print(len(a) - 1)
Ответ: 12
