СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 9776

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежат две кучи кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в одну из куч (по сво­е­му вы­бо­ру) один ка­мень или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. На­при­мер, пусть в одной куче 20 кам­ней, а в дру­гой 7 кам­ней; такую по­зи­цию в игре будем обо­зна­чать (20, 7). Тогда за один ход можно по­лу­чить любую из четырёх по­зи­ций: (21, 7), (40, 7), (20, 8), (20, 14). Для того чтобы де­лать ходы, у каж­до­го иг­ро­ка есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней.

Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда сум­мар­ное ко­ли­че­ство кам­ней в кучах ста­но­вит­ся не менее 77. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, т. е. пер­вым по­лу­чив­ший такую по­зи­цию, что в кучах всего будет 77 кам­ней или боль­ше.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка – зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может

встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка. На­при­мер, при на­чаль­ных по­зи­ци­ях (10, 34), (11, 33) вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Пети. Чтобы вы­иг­рать, ему до­ста­точ­но удво­ить ко­ли­че­ство кам­ней во вто­рой куче.

За­да­ние 1. Для каж­дой из на­чаль­ных по­зи­ций (10, 33), (12, 32) ука­жи­те, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию. В каж­дом слу­чае опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию; объ­яс­ни­те, по­че­му эта стра­те­гия ведёт к вы­иг­ры­шу, и ука­жи­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ходов может по­тре­бо­вать­ся по­бе­ди­те­лю для вы­иг­ры­ша при этой стра­те­гии.

За­да­ние 2. Для каж­дой из на­чаль­ных по­зи­ций (10, 32), (11, 32), (12, 31) ука­жи­те, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию. В каж­дом слу­чае опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию; объ­яс­ни­те, по­че­му эта стра­те­гия ведёт к вы­иг­ры­шу, и ука­жи­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ходов может по­тре­бо­вать­ся по­бе­ди­те­лю для вы­иг­ры­ша при этой стра­те­гии.

За­да­ние 3. Для на­чаль­ной по­зи­ции (11, 31) ука­жи­те, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию. Опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию; объ­яс­ни­те, по­че­му эта стра­те­гия ведёт к вы­иг­ры­шу, и ука­жи­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ходов может по­тре­бо­вать­ся по­бе­ди­те­лю для вы­иг­ры­ша при этой стра­те­гии. По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при ука­зан­ной Вами вы­иг­рыш­ной стра­те­гии. Пред­ставь­те де­ре­во в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы.

Ре­ше­ние.

За­да­ние 1. В на­чаль­ных по­зи­ци­ях (10, 33), (12, 32) вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вани. При на­чаль­ной по­зи­ции (10, 33) после пер­во­го хода Пети может по­лу­чить­ся одна из сле­ду­ю­щих четырёх по­зи­ций: (11, 33), (20, 33), (10, 34), (10, 66). Каж­дая из этих по­зи­ций со­дер­жит менее 77 кам­ней. При этом из любой из этих по­зи­ций Ваня может по­лу­чить по­зи­цию, со­дер­жа­щую не менее 77 кам­ней, удво­ив ко­ли­че­ство кам­ней во вто­рой куче. Для по­зи­ции (12, 32) после пер­во­го хода Пети может по­лу­чить­ся одна из сле­ду­ю­щих четырёх по­зи­ций: (13, 32), (24, 32), (12, 33), (12, 64). Каж­дая из этих по­зи­ций со­дер­жит менее 77 кам­ней. При этом из любой из этих по­зи­ций Ваня может по­лу­чить по­зи­цию, со­дер­жа­щую не менее 77 кам­ней, удво­ив ко­ли­че­ство кам­ней во вто­рой куче. Таким об­ра­зом, Ваня при любом ходе Пети вы­иг­ры­ва­ет своим пер­вым ходом.

За­да­ние 2. В на­чаль­ных по­зи­ци­ях (10, 32), (11, 32) и (12, 31) вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Пети. При на­чаль­ной по­зи­ции (10, 32) он дол­жен пер­вым ходом по­лу­чить по­зи­цию (10, 33), из на­чаль­ных по­зи­ций (11, 32) и (12, 31)

Петя после пер­во­го хода дол­жен по­лу­чить по­зи­цию (12, 32). По­зи­ции (10, 33) и (12, 32) рас­смот­ре­ны при раз­бо­ре за­да­ния 1. В этих по­зи­ци­ях вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый будет хо­дить вто­рым (те­перь это Петя). Эта

стра­те­гия опи­са­на при раз­бо­ре за­да­ния 1. Таким об­ра­зом, Петя при любой игре Вани вы­иг­ры­ва­ет своим вто­рым ходом.

За­да­ние 3. В на­чаль­ной по­зи­ции (11, 31) вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вани. После пер­во­го хода Пети может воз­ник­нуть одна из четырёх по­зи­ций: (12, 31), (11, 32), (22, 31) и (11, 62). В по­зи­ци­ях (22, 31) и (11, 62) Ваня может

вы­иг­рать одним ходом, удво­ив ко­ли­че­ство кам­ней во вто­рой куче. По­зи­ции (12, 31) и (11, 32) были рас­смот­ре­ны при раз­бо­ре за­да­ния 2. В этих по­зи­ци­ях у иг­ро­ка, ко­то­рый дол­жен сде­лать ход (те­перь это Ваня), есть вы­иг­рыш­ная

стра­те­гия. Эта стра­те­гия опи­са­на при раз­бо­ре за­да­ния 2. Таким об­ра­зом, в за­ви­си­мо­сти от игры Пети Ваня вы­иг­ры­ва­ет на пер­вом или вто­ром ходу. При­ме­ча­ние для экс­пер­та. По­след­няя фраза в при­ведённом ре­ше­нии из­бы­точ­на. Не будет ошиб­кой, если эк­за­ме­ну­е­мый про­сто на­пи­шет, на­при­мер: «При вы­бран­ной стра­те­гии пар­тия длит­ся не более двух ходов». В таб­ли­це изоб­ра­же­но де­ре­во воз­мож­ных пар­тий при опи­сан­ной стра­те­гии Вани. За­клю­чи­тель­ные по­зи­ции (в них вы­иг­ры­ва­ет Ваня) вы­де­ле­ны жир­ным шриф­том.