Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & А ≠ 0)
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Преобразуем выражение по законам алгебры логики:
¬Х → (Y → ¬Z) = Х + (Y → ¬Z) = Х + ¬Y + ¬Z = X + ¬(YZ) = YZ → X.
Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.
Имеем импликацию Z12ZA → Z29 или Z(12 or A) → Z29. Запишем число 29 в двоичной системе счисления: 2910 = 111012. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поскольку 1210 = 011002, двоичная запись искомого числа А должна содержать единичные биты в нулевом и четвертом разрядах (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).
Тем самым, наименьшее А = 100012 = 1710.
Приведём другое решение.
Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:
var
A, x: integer;
B: boolean;
begin
for A := 0 to 31 do begin
B := True;
for x := 0 to 31 do
if not (((x and 29) = 0) or ((x and 12) <> 0) or ((x and A) <> 0)) then
B := False;
if B then begin
writeln(A);
break;
end;
end;
end.
Приведём решение на языке Python.
for A in range(32):
B = True
for x in range(32):
if ((x&29==0) or (x&12!=0) or (x&A!=0))==0:
B=False
if B:
print(A)
break
Заметим, что можно не перебирать числа, большие 31, поскольку для записи чисел 29 и 12 хватит пяти разрядов. Программа выведет ответ 17.
Ответ: 17.