Тип 15 № 78040 
Преобразование логических выражений. Числовые отрезки
i
На числовой прямой даны два отрезка: P = [117; 158] и Q = [130; 180]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение
¬((x ∈ P) → ((¬(x ∈ A) ∧ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ P)))
ложно (т. е. принимает значение 0) при любом значении переменной х.
Решение. Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
¬(P → ((¬ A ∧ Q)→¬ P)) ⇔ ¬(¬P ∨ (¬(¬ A ∧ Q)∨ ¬P) ⇔ ¬(¬P ∨ A ∨ ¬Q) .
¬(¬P ∨ A ∨ ¬Q)) = 0 ⇔ ¬P ∨ A ∨ ¬Q = 1 .
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Условие ¬P
истинно на множестве (−∞, 117] ∪ [158, ∞).
Условие ¬Q
истинно на множестве (−∞, 130] ∪ [180, ∞).
Поскольку выражение ¬P ∨ A ∨ ¬Q должно быть тождественно истинным, выражение A должно быть истинным на множестве [130; 158]. Значит, наименьшая возможная длина интервала A равна 158 − 130 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
