СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 7798

Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 51 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 50.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

 

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.

 

Задание 2. Укажите два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём (а) Паша не может выиграть за один ход и (б) Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.

 

Задание 3. Укажите значение S, при котором:

— у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и

— у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в

Решение.

Задание 1.

а) Паша может выиграть, если S = 17, … 50. Во всех этих случаях достаточно утроить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 50 камней.

б) Вася может выиграть первым ходом (как бы ни играл Паша), если исходно в куче будет S = 16 камня. Тогда после первого хода Паши в куче будет 17, 18 или 48 камней. Во всех случаях Вася утраивает количество камней и выигрывает в один ход.

Задание 2.

Возможные значения S: 14, 15. В этих случаях Паша, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 16 камней: в первом случае добавлением одного камня, во втором — добавлением двух камней. Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Вася), выиграть не может, а его противник (то есть Паша) следующим ходом выиграет.

Задание 3.

Возможное значение S: 13. После первого хода Паши в куче будет 14, 15 или 39 камней. Если в куче станет 39 камней, Вася утроит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 14 или 15 камней, разобрана в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Вася), выигрывает своим вторым ходом.

 

В таблице приведены возможные партии при описанной стратегии Васи. Заключительные позиции (в них выигрывает Вася) подчёркнуты. На рисунке дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).