Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д26 C3 № 7471
i

Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в кучу один или три камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в два раза. На­при­мер, имея кучу из 15 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 16, 18 или 30 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней. Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся не менее 35. По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, т. е. пер­вым по­лу­чив­ший кучу, в ко­то­рой будет 35 или боль­ше кам­ней. В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней; 1 ≤ S ≤ 34. Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка  — зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния. Во всех слу­ча­ях обос­но­вы­вай­те свой ответ.

За­да­ние 1

а)  Ука­жи­те все такие зна­че­ния числа S, при ко­то­рых Петя может вы­иг­рать в один ход. Обос­нуй­те, что най­де­ны все нуж­ные зна­че­ния S, и ука­жи­те вы­иг­ры­ва­ю­щие ходы.

б)  Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может вы­иг­рать своим пер­вым ходом. Опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани.

За­да­ние 2

Ука­жи­те два таких зна­че­ния S, при ко­то­рых у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, причём од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

− Петя не может вы­иг­рать за один ход;

− может вы­иг­рать своим вто­рым ходом не­за­ви­си­мо от того, как будет хо­дить Ваня.

Для каж­до­го ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Пети.

За­да­ние 3

Ука­жи­те зна­че­ние S, при ко­то­ром од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

− у Вани есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать пер­вым или вто­рым ходом при любой игре Пети;

− у Вани нет стра­те­гии, ко­то­рая поз­во­лит ему га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать пер­вым ходом.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани.

По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии Вани (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На ри­сун­ке на рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход; в узлах  — ко­ли­че­ство кам­ней в по­зи­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­да­ние 1

а)  Петя может вы­иг­рать, удво­ив ко­ли­че­ство кам­ней в куче, если S = 18, … 34. При мень­ших зна­че­ни­ях S за один ход нель­зя по­лу­чить кучу, в ко­то­рой не менее 35 кам­ней.

б)  Ваня может вы­иг­рать пер­вым ходом (как бы ни играл Петя), если ис­ход­но в куче будет S  =  17 кам­ней. Тогда после пер­во­го хода Пети в куче будет 18, 20 кам­ней или 34 камня. Во всех слу­ча­ях Ваня удва­и­ва­ет ко­ли­че­ство кам­ней и вы­иг­ры­ва­ет в один ход.

За­да­ние 2

Воз­мож­ные зна­че­ния S : 14, 16. В этих слу­ча­ях Петя, оче­вид­но, не может вы­иг­рать пер­вым ходом. Од­на­ко он может по­лу­чить кучу из 17 кам­ней. Эта по­зи­ция разо­бра­на в п. 1б. В ней игрок, ко­то­рый будет хо­дить (те­перь это Ваня), вы­иг­рать не может, а его про­тив­ник (т. е. Петя) сле­ду­ю­щим ходом вы­иг­ра­ет.

За­да­ние 3

Воз­мож­ные зна­че­ния S : 13, 15.

На­при­мер, для S = 13 после пер­во­го хода Пети в куче будет 14, 16 или 26 кам­ней. Если в куче ста­нет 26 кам­ней, Ваня удво­ит ко­ли­че­ство кам­ней и вы­иг­ра­ет пер­вым ходом. Си­ту­а­ция, когда в куче 14 или 16 кам­ней, разо­бра­на в п. 2. В этой си­ту­а­ции игрок, ко­то­рый будет хо­дить (те­перь это Ваня), вы­иг­ры­ва­ет своим вто­рым ходом. В таб­ли­це изоб­ра­же­но де­ре­во воз­мож­ных пар­тий при опи­сан­ной стра­те­гии Вани для пер­во­го воз­мож­но­го зна­че­ния. Для вто­ро­го воз­мож­но­го зна­че­ния де­ре­во стро­ит­ся ана­ло­гич­но. За­клю­чи­тель­ные по­зи­ции (в них вы­иг­ры­ва­ет Ваня) подчёрк­ну­ты. На ри­сун­ке это же де­ре­во изоб­ра­же­но в гра­фи­че­ском виде (оба спо­со­ба изоб­ра­же­ния де­ре­ва до­пу­сти­мы).

 

По­ло­же­ния после оче­ред­ных ходов
и. п.1-й ход Пети

(разо­бра­ны все

ходы)

1-й ход Вани

(толь­ко ход

по стра­те­гии)

2-й ход Пети

(разо­бра­ны все

ходы)

2-й ход Вани

(толь­ко ход по

стра­те­гии)

1313 + 1 = 1414 + 3 = 1717 + 1 = 1818*2 = 36
17 + 3 = 2020*2 = 40
17*2 = 3434 + 1 = 35
34 + 3 = 37
34*2 = 68
13 + 3 = 1616 + 1 = 1717 + 1 = 1818*2 = 36
17 + 3 = 2020*2 = 40
17*2 = 3434 + 1 = 35
34 + 3 = 37
34*2 = 68
13 * 2 = 2626*2 = 52

 

Де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при Ва­ни­ной стра­те­гии.

Пря­мо­уголь­ни­ком обо­зна­че­ны по­зи­ции, в ко­то­рых пар­тия за­кан­чи­ва­ет­ся

Спрятать критерии
Критерии проверки:

В за­да­че от уче­ни­ка тре­бу­ет­ся вы­пол­нить три за­да­ния. Их труд­ность воз­рас­та­ет. Ко­ли­че­ство бал­лов в целом со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству вы­пол­нен­ных за­да­ний (по­дроб­нее см. ниже). Ошиб­ка в ре­ше­нии, не ис­ка­жа­ю­щая ос­нов­но­го за­мыс­ла и не при­вед­шая к не­вер­но­му от­ве­ту, на­при­мер ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка при вы­чис­ле­нии ко­ли­че­ства кам­ней в за­клю­чи­тель­ной по­зи­ции, при оцен­ке ре­ше­ния не учи­ты­ва­ет­ся. Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным пол­но­стью, если вы­пол­не­ны пол­но­стью оба пунк­та: а) и б). Пункт а) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным пол­но­стью, если пра­виль­но ука­за­ны все по­зи­ции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и ука­за­но, каким дол­жен быть пер­вый ход. Пункт б) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным, если пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и опи­са­на стра­те­гия Вани, т. е. по­ка­за­но, как Ваня может по­лу­чить кучу, в ко­то­рой со­дер­жит­ся нуж­ное ко­ли­че­ство кам­ней, при любом ходе Пети. Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным ча­стич­но, если од­но­вре­мен­но:

1) пра­виль­но ука­за­ны все по­зи­ции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом;

2) пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом;

3) явно ука­за­но, что при любом ходе Пети Ваня может по­лу­чить кучу, ко­то­рая со­дер­жит нуж­ное для вы­иг­ры­ша ко­ли­че­ство кам­ней, но при этом не ука­за­но, каким имен­но ходом вы­иг­ры­ва­ет Ваня.

Вто­рое за­да­ние вы­пол­не­но, если пра­виль­но ука­за­ны обе по­зи­ции, вы­иг­рыш­ные для Пети, и опи­са­на со­от­вет­ству­ю­щая стра­те­гия Пети — так, как это на­пи­са­но в при­ме­ре ре­ше­ния, или дру­гим спо­со­бом, на­при­мер с по­мо­щью де­ре­ва всех пар­тий, воз­мож­ных при вы­бран­ной стра­те­гии Пети.

Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но, если пра­виль­но ука­за­на по­зи­ция, вы­иг­рыш­ная для Вани, и по­стро­е­но де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при Ва­ни­ной стра­те­гии. В этом де­ре­ве в каж­дой по­зи­ции, где дол­жен хо­дить Петя, долж­ны быть разо­бра­ны все воз­мож­ные ходы, а для по­зи­ций, где дол­жен хо­дить Ваня, — толь­ко ход, со­от­вет­ству­ю­щий стра­те­гии, ко­то­рую вы­брал Ваня. Во всех слу­ча­ях стра­те­гии могут быть опи­са­ны так, как это сде­ла­но в при­ме­ре ре­ше­ния, или дру­гим спо­со­бом

 

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вы­пол­не­ны вто­рое и тре­тье за­да­ния. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или ча­стич­но. Здесь и далее в ре­ше­ни­ях до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му от­ве­ту.3
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла,

и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий.

− Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью.

− Пер­вое и вто­рое за­да­ния вы­пол­не­ны пол­но­стью.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или ча­стич­но, для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний ука­за­ны пра­виль­ные зна­че­ния S.

2
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью.

− Во вто­ром за­да­нии пра­виль­но ука­за­но одно из двух воз­мож­ных зна­че­ний S, и для этого зна­че­ния ука­за­на и обос­но­ва­на вы­иг­рыш­ная стра­те­гия Пети.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но ча­стич­но, и для од­но­го из осталь­ных за­да­ний пра­виль­но ука­за­но зна­че­ние S.

− Для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний пра­виль­но ука­за­ны зна­че­ния S.

1
Не вы­пол­не­но ни одно из усло­вий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по ин­фор­ма­ти­ке
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026