На числовой прямой даны два отрезка: P = [23, 58] и Q = [1, 39].
Выберите из предложенных отрезков такой отрезок A, что логическое выражение
((x ∈ P) ∨ (x ∈ А)) → ((x ∈ Q) ∨ (x ∈ А))
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [5, 30]
2) [15, 40]
3) [25, 50]
4) [35, 60]
Введем обозначения:
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
(P ∨ А) → (Q ∨ А) = ¬(P ∨ A) ∨ (Q ∨ A).
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Наибольший интервал на котором ¬(P ∨ A) истинно получится, если отрезок A попадает внутрь отрезка P. Тогда это выражение истинно на интервале (−∞; 23) ∪ (58; ∞). Также необходимо, чтобы выражение (Q ∨ A) было истинно на отрезке [23; 58]. Оба этих условия выполняются если за отрезок A взять [35; 60].
Правильный ответ указан под номером 4.