СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
Информатика
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 7002

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 20 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 42.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 42 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 41.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может

встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1.

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть

в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2.

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3.

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть

первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.

Решение.

Задание 1.

а) Петя может выиграть, если S = 14, …, 41. Чтобы получить кучу, содержащую не менее 40 камней, достаточно утроить исходное количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой не менее 42 камней.

Примечание. При куче, например, из 41 камня Ваня может выиграть и другим ходом – добавив в кучу 1 камень или 5 камней. Но в условии не требуется указывать все выигрышные стратегии.

б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 13 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 14, 18 или 39 камней. Во всех случаях Ваня утраивает количество камней и выигрывает в один ход.

 

Задание 2.

Возможные значения S: 8, 12. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 13 камней. Эта позиция разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

 

Задание 3.

Возможные значения S: 7, 11.

Например, для S = 7 после первого хода Пети в куче будет 8 камней, 12 камней или 21 камень. Если в куче станет 21 камень, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 8 или 12 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

 

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани для первого возможного значения. При выбранной стратегии на последнем ходе Ваня утраивает количество камней, хотя возможны и другие выигрышные ходы. Для второго возможного значения S дерево строится аналогично. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

 

 

 

Дерево всех партий, возможных при Ваниной стратегии.

Знаком >> обозначены позиции, в которых партия заканчивается.