Так как за­пись чисел окан­чи­ва­ет­ся на 1 и 2, то ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния не может быть мень­ше трёх. По­след­няя цифра в за­пи­си числа  — это оста­ток от де­ле­ния числа на ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния. Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко N = 13.

Ответ: 13.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За­пись числа 41₁₀ в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N окан­чи­ва­ет­ся на 2, сле­до­ва­тель­но, су­ще­ству­ет такое a, что 41 = a*N + 2, от­ку­да a*N = 39 = 13*3. Ана­ло­гич­но, 131 = b*N + 1, от­ку­да b*N = 130 = 13*10. Общий де­ли­тель 13 и есть ис­ко­мое ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния.