СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 23 № 6315

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

 

(x1 ∧ x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x3 ∧ x4) ∨ (x3 ∧ ¬x4) = 1

(x3 ∧ x4) ∨ (¬x3 ∧ ¬x4) ∨ (¬x5 ∧ x6) ∨ (x5 ∧ ¬x6) = 1

...

(x7 ∧ x8) ∨ (¬x7 ∧ ¬x8) ∨ (¬x9 ∧ x10) ∨ (x9 ∧ ¬x10) = 1

 

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x10 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение.

Построим древо решений для первого уравнения.

Таким образом, первое уравнение имеет 12 решений.

 

Второе уравнение связано с первым только через переменные x3 и x4. На основании древа решений для первого уравнения выпишем пары значений переменных x3 и x4, которые удовлетворяют первому уравнению и укажем количество таких пар значений.

Количество

пар значений

x3x4
×211
×200
×410
×401

 

Поскольку уравнения идентичны с точностью до индексов переменных, древо решений второго уравнения аналогично первому (см. рис.). Следовательно, пара значений x3 = 1 и x4 = 1 порождает четыре набора переменных x3, ..., x6, удовлетворяющих второму уравнению. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар две, всего получаем 4 · 2 = 8 наборов переменных x1, ..., x6, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Рассуждая аналогично для пары значений x3 = 0 и x4 = 0, получаем 8 наборов переменных x1, ..., x6. Пара x3 = 1 и x4 = 0 порождает два решения второго уравнения. Поскольку среди наборов решений первого уравнения данных пар четыре, получаем 2 · 4 = 8 наборов переменных x1, ..., x6, удовлетворяющих системе из двух уравнений. Аналогично для x3 = 0 и x4 = 1 — 8 наборов решений. Всего система из двух уравнений имеет 8 + 8 + 8 + 8 = 32 решения.

 

Третье уравнение связано со вторым только через переменные x5 и x6. Древо решений аналогичное. Тогда для системы из трёх уравнений каждая пара значений x5 и x6 будет порождать количество решений в соответствии с древом (см. рис.): пара (1, 0) породит 2 решения, пара (1, 1) породит 4 решения, и т. д.

Из решения первого уравнения мы знаем, что пара значений x3, x4 (1, 1) встречается в решениях два раза. Следовательно, для системы из трёх уравнений количество решений для пары x3, x4 (1, 1) равно 2 · (2 + 4 + 4 + 2) = 24 (см. рис.). Воспользовавшись таблицей выше, вычислим количество решений для оставшихся пар x3, x4:

 

4 · (2 + 2) = 16

2 · (2 + 4 + 4 + 2) = 24

4 · (2 + 2) = 16

 

Таким образом, для системы из трёх уравнений имеем 24 + 16 + 24 + 16 = 80 наборов переменных x1, ..., x8, удовлетворяющих системе.

Для системы из четырёх уравнений существует 192 набора переменных x1, ..., x10, удовлетворяющих системе.

 

Ответ: 192.

Источник: ЕГЭ по информатике 08.07.2013. Вторая волна. Ва­ри­ант 502.