Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Каким из приведённых ниже выражений может быть F?
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 ∧ x8 ∧ ¬x9 ∧ x10
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7 ∨ x8 ∨ ¬x9 ∨ x10
3) ¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 ∨ x8 ∨ x9 ∨ ¬x10
4) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 ∧ x9 ∧ ¬x10
Сначала выясним, является F конъюнкцией или дизъюнкцией.
Каковы бы ни были логические переменные х1, х2, ... х10 и отрицания к ним, их конъюнкция может быть равна 1 только в одном случае — когда все они равны 1. Из таблицы истинности следует, что функция F принимает значение 1 для одного набора переменных и их отрицаний. Таким образом, F — конъюнкция. Следовательно, второй и третий варианты ответа не подходят.
Подставим первый вариант ответа. В третьей строке данной таблицы значение F равно 1. Это значит, что все переменные из x1, ¬x2, x3, ¬x4, x5, ¬x6, x7, x8, ¬x9, x10 должны быть равны 1. Значит, первый вариант не подходит.
Подставим четвертый вариант ответа. В третьей строке данной таблицы значение F равно 1. Это значит, что все переменные из ¬x1, x2, ¬x3, x4, ¬x5, x6, ¬x7, ¬x8, x9, ¬x10 должны быть равны 1. Следовательно, 4 вариант ответа подходит. Проверим последовательно все строки таблицы.
Проверим вторую строку таблицы. Конъюнкция равна нулю в том случае, когда хотя бы одна из переменных ¬x1, x2, ¬x3, x4, ¬x5, x6, ¬x7, ¬x8, x9, ¬x10 равна нулю. И такая переменная есть: x1 = 0.
Проверим первую строку таблицы. Конъюнкция равна нулю в том случае, когда хотя бы одна из переменных ¬x1, x2, ¬x3, x4, ¬x5, x6, ¬x7, ¬x8, x9, ¬x10 равна нулю и такая переменная есть: ¬x5 = 0.
То есть ответом является четвертый вариант.