На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы
(x ∈ A) → (x ∈ P) и (x ∈ Q) → (x ∈ R)
тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).
1) [5, 12]
2) [10, 17]
3) [12, 20]
4) [15, 25]
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R.
Применив преобразование импликации, получаем:
(¬A∨P) и (¬Q∨R)
R∨¬Q ложно тогда, когда x∈(15;20]. Выражение ¬A∨P должно быть ложно на этом же интервале. Выражение P на нем ложно, следовательно, стоит потребовать, чтобы ¬А было ложно на интервале (15; 20] и истинно по крайней мере на интервале (−∞; 10) ∪ (20; ∞). Если ¬A ложно, то A истинно.
Из всех отрезков только отрезок [12;20] удовлетворяет этому условию.